Determine a solução geral e descreva o comportamento das curvas solução dos seguintes problemas diferenciais:
\frac{d y}{d t}-3 y=6

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
\frac{d y}{d t} - 3y = 6,
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos usar o fator integrante e a ideia de separar a parte homogênea da particular.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t), que satisfaz
\mu(t) = e^{\int -3\,dt} = e^{-3t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{-3t}\frac{d y}{d t} - 3e^{-3t}y = 6e^{-3t}.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto e^{-3t}y:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr) = 6e^{-3t}.
Integramos em t:
e^{-3t}y = \int 6e^{-3t}\,dt = -2e^{-3t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = -2 + C\,e^{3t}.

Passo 5

Para o comportamento das curvas solução, note que a reta y=-2 é solução constante (equilíbrio). As outras soluções são exponenciais deslocadas:
  • Se C>0, y(t)\to+\infty quando t\to+\infty.
  • Se C<0, y(t)\to-\infty quando t\to+\infty.
  • Para t\to-\infty, todas as soluções tendem a -2, pois e^{3t}\to0.

Resposta

A solução geral é
y(t) = -2 + C\,e^{3t},
e as curvas solução são exponenciais que se afastam de y=-2 conforme t cresce, aproximando-se de y=-2 quando t\to-\infty.

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