Usando o método do fator integrante, encontre a solução do problema de valor inicial (PVI):
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d t}+2 y=\varphi(t) \y(0)=0\end{array}\right.onde \begin{cases}1, & \text { se } \quad t \in[0,1], \\\ 0, & \text { se } \quad t \in(3,+\infty) .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} \frac{dy}{dt}+2\,y=\varphi(t),\\\ y(0)=0, \end{cases}
onde
\varphi(t)= \begin{cases} 1,&t\in[0,1],\\\\ 0,&t>1\quad(\text{e também em }t>3). \end{cases}é
O método do fator integrante consiste em multiplicar a EDO por um fator \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)y(t).

Passo 2

Calculamos o fator integrante. Para a EDO
\frac{dy}{dt}+2y=\varphi(t)
temos
\mu(t)=\exp\Bigl(\int 2\,dt\Bigr)=e^{2t}.
Multiplicando a EDO por \(e^{2t}) vem
e^{2t}\frac{dy}{dt}+2\,e^{2t}y =\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t}y\bigr) =e^{2t}\varphi(t).

Passo 3

Integramos dos tempos 0 até t:
\int_{0}^{t}\frac{d}{ds}\bigl(e^{2s}y(s)\bigr)\,ds =\int_{0}^{t}e^{2s}\varphi(s)\,ds.
O lado esquerdo fica
e^{2t}y(t)-e^{0}y(0) =e^{2t}y(t),
pois y(0)\(=0). Logo
y(t)=e^{-2t}\int_{0}^{t}e^{2s}\varphi(s)\,ds.

Passo 4

Agora avaliamos a integral peça a peça.
Para 0\le t\le1 temos \varphi(s)\(=1) em [0,t], então
\int_{0}^{t}e^{2s}\varphi(s)\,ds =\int_{0}^{t}e^{2s}\,ds =\frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr).
Logo
y(t)=e^{-2t}\,\frac{1}{2}\bigl(e^{2t}-1\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr).

Passo 5

Para t>1 (já que \varphi(s)\(=0) para s>1) a integral fixa-se no valor
\int_{0}^{t}e^{2s}\varphi(s)\,ds =\int_{0}^{1}e^{2s}\,ds =\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr).
Então, para todo t>1,
y(t) =e^{-2t}\,\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr) =\frac{e^{2}-1}{2}\,e^{-2t}.

Resposta

Portanto a solução do PVI é
y(t)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\bigl(1-e^{-2t}\bigr),&0\le t\le1,\\[1em] \dfrac{e^{2}-1}{2}\,e^{-2t},&t>1. \end{cases}]

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