Determine a solução geral e descreva o comportamento das curvas solução dos seguintes problemas diferenciais:
\frac{d y}{d t}-3 y=t+e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dt}-3y = t + e^{-2t},
além de descrever qualitativamente como se comportam as curvas‐solução. O conteúdo envolvido é método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Escrevemos na forma padrão \frac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t), onde aqui P(t)=-3 e Q(t)=t+e^{-2t}. O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int P(t)\,dt} = e^{-3t}.
Multiplicando a EDO por \mu(t), obtemos
e^{-3t}\frac{dy}{dt} -3e^{-3t}y = t\,e^{-3t} + e^{-5t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr) = t\,e^{-3t} + e^{-5t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr)\,dt = \int \bigl(t\,e^{-3t} + e^{-5t}\bigr)\,dt.
Para \int t\,e^{-3t}dt usamos integração por partes, obtendo
\int t\,e^{-3t}dt = -\tfrac{1}{3}t\,e^{-3t} - \tfrac{1}{9}e^{-3t} + C_1,
e
\int e^{-5t}dt = -\tfrac{1}{5}e^{-5t} + C_2.
Somando e acomodando as constantes em uma só C, fica
e^{-3t}y = -\tfrac{1}{3}t\,e^{-3t} - \tfrac{1}{9}e^{-3t} - \tfrac{1}{5}e^{-5t} + C.

Passo 4

Multiplicando por e^{3t}, achamos a solução geral
y(t) = C\,e^{3t} \;-\;\tfrac{1}{3}\,t \;-\;\tfrac{1}{9} \;-\;\tfrac{1}{5}\,e^{-2t}.

Passo 5

Analisando o comportamento:
– O termo homogêneo C\,e^{3t} domina para t\to+\infty, fazendo a solução explodir exponencialmente sempre que C\neq0.
– Se escolhermos C=0, resta o particular \displaystyle y_p(t)=-\tfrac{1}{3}t-\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{5}e^{-2t}, que cresce em módulo como -\tfrac{1}{3}t (tendendo a -\infty linearmente) quando t\to+\infty.
– Para t\to -\infty, o termo -\tfrac{1}{5}e^{-2t} domina (pois e^{-2t}\to+\infty), levando y\to -\infty de forma exponencial.

Resposta

y(t) = C\,e^{3t} \;-\;\frac{1}{3}\,t \;-\;\frac{1}{9} \;-\;\frac{1}{5}\,e^{-2t},
com C\in\mathbb{R}. As curvas‐solução divergem exponencialmente para t\to+\infty sempre que C\neq0; para C=0 elas decaem linearmente; e todas descem para -\infty exponencialmente quando t\to-\infty.

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