Determine a solução geral e descreva o comportamento das curvas solução dos seguintes problemas diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
além de descrever qualitativamente como se comportam as curvas‐solução. O conteúdo envolvido é método do fator integrante para equações lineares.
Passo 2
Escrevemos na forma padrão
, onde aqui
e
. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
, obtemos
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para
usamos integração por partes, obtendo
e
Somando e acomodando as constantes em uma só
, fica
Passo 4
Multiplicando por
, achamos a solução geral
Passo 5
Analisando o comportamento:
– O termo homogêneo domina para
, fazendo a solução explodir exponencialmente sempre que
.
– Se escolhermos , resta o particular
, que cresce em módulo como
(tendendo a
linearmente) quando
.
– Para , o termo
domina (pois
), levando
de forma exponencial.
– O termo homogêneo
– Se escolhermos
– Para
Resposta
com
. As curvas‐solução divergem exponencialmente para
sempre que
; para
elas decaem linearmente; e todas descem para
exponencialmente quando
.