Determine a solução geral e descreva o comportamento das curvas solução dos seguintes problemas diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
Este é um problema de equação linear na forma
Este é um problema de equação linear na forma
onde
Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Passo 3
Integramos em
:
onde
é constante arbitrária.
Logo a solução geral é
Logo a solução geral é
Passo 4
Impondo a condição
:
Portanto, a solução que satisfaz
é
Passo 5
Analisando
: cada termo tem fator exponencial negativo. Ambos tendem a zero, logo
Todas as curvas solução em
decaem exponencialmente para o eixo
.
Passo 6
Analisando
: temos
Assim, se
(isto é,
), então
; se
, então
.
Para o valor crítico , a solução permanece Finita ao aproximar de
.
Para o valor crítico
Passo 7
Resumo do comportamento das curvas para variar
:
- Todas decaem para
quando . - Quanto a
, divergem como , com sinal determinado pelo sinal de . - Há um parâmetro separatriz
que faz desaparecer a divergência em .
Resposta
A solução geral com
é
- Para
, . - Para
, , de modo que diverge para conforme seja maior ou menor que .