Determine a solução geral e descreva o comportamento das curvas solução dos seguintes problemas diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} t \frac{d y}{d t}+(t+1) y=2 e^{-2 t} \\ y(1)=a, \quad t>0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
t\,\frac{dy}{dt} + (t+1)\,y = 2e^{-2t},\quad t>0,
com condição inicial y(1)=a.
Este é um problema de equação linear na forma
\frac{dy}{dt} + p(t)\,y = q(t),
onde
p(t)=\frac{t+1}{t},\quad q(t)=\frac{2e^{-2t}}{t}.
Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int\bigl(1+\tfrac1t\bigr)\,dt\Bigr) =\exp\bigl(t+\ln t\bigr) =t\,e^t.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
t\,e^t\,\frac{dy}{dt} + (t+1)\,y\,e^t =\frac{d}{dt}\bigl(y\,t\,e^t\bigr) \;=\;2e^{-2t}\,\frac{t\,e^t}{t} =2e^{-t}.

Passo 3

Integramos em t:
\frac{d}{dt}\bigl(y\,t\,e^t\bigr)=2e^{-t} \quad\Longrightarrow\quad y\,t\,e^t=\int 2e^{-t}\,dt=-2e^{-t}+C,
onde C é constante arbitrária.
Logo a solução geral é
y(t)=\frac{-2e^{-t}+C}{t\,e^t} =\frac{C\,e^{-t}}{t}-\frac{2e^{-2t}}{t}.

Passo 4

Impondo a condição y(1)=a:
y(1)=\frac{C\,e^{-1}}{1}-\frac{2e^{-2}}{1}=a \quad\Longrightarrow\quad C=e\bigl(a+2e^{-2}\bigr)=e\,a+2e^{-1}.
Portanto, a solução que satisfaz y(1)=a é
\boxed{% y(t)=\frac{\bigl(e\,a+2e^{-1}\bigr)e^{-t}-2e^{-2t}}{t} =\frac{(e\,a+2e^{-1})\,e^{-t}}{t}-\frac{2\,e^{-2t}}{t}\,.}

Passo 5

Analisando t\to\infty: cada termo tem fator exponencial negativo. Ambos tendem a zero, logo
\lim_{t\to\infty}y(t)=0.
Todas as curvas solução em t>0 decaem exponencialmente para o eixo y=0.

Passo 6

Analisando t\to0^+: temos
y(t)\sim\frac{(e\,a+2e^{-1})-2}{t} =\frac{e\,a+2/e-2}{t}.
Assim, se e\,a+2/e-2>0 (isto é, a>2(e-1)/e^2), então y(t)\to+\infty; se a<2(e-1)/e^2, então y(t)\to-\infty.
Para o valor crítico a=2(e-1)/e^2, a solução permanece Finita ao aproximar de t=0.

Passo 7

Resumo do comportamento das curvas para variar a:
  • Todas decaem para 0 quando t\to\infty.
  • Quanto a t\to0^+, divergem como \pm1/t, com sinal determinado pelo sinal de e\,a+2/e-2.
  • Há um parâmetro separatriz a=2(e-1)/e^2 que faz desaparecer a divergência em t=0.

Resposta

A solução geral com y(1)=a é
\boxed{% y(t)=\frac{\bigl(e\,a+2e^{-1}\bigr)e^{-t}-2e^{-2t}}{t},\quad t>0. }
  • Para t\to\infty, y(t)\to0.
  • Para t\to0^+, y(t)\sim\bigl(e\,a+2/e-2\bigr)/t, de modo que diverge para \pm\infty conforme a seja maior ou menor que 2(e-1)/e^2.

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