Determine a solução geral da EDO de 2^a ordem não-homogenêa
y^prime prime+y^prime-6 y=5 cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem não-homogênea y'' + y' - 6y = 5cos(x). O conteúdo envolvido é EDO linear de ordem 2 com coeficientes constantes. Vamos precisar primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos y'' + y' - 6y = 0. Montamos a equação característica r^2 + r - 6 = 0, que fatoramos como (r-2)(r+3)=0. Logo as raízes são r1 = 2 e r2 = -3, e a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo forçante é 5cos(x), propomos
yp(x) = Acos(x) + Bsin(x)
Calculamos as derivadas:
yp' = -Asin(x) + Bcos(x),
yp'' = -Acos(x) - Bsin(x)
Substituindo em y'' + y' - 6y e igualando a 5cos(x), obtemos o sistema
-7A + B = 5, -A -7B = 0
Da segunda equação vem A = -7B. Substituindo na primeira: 49B + B = 5 resulta em B = tfrac110 e portanto A = -tfrac710.

Passo 4

Juntando as partes temos a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x - tfrac710cos(x) + tfrac110sin(x)

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-3x - tfrac710cos(x) + tfrac110sin(x).

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