(n) integral sen(x) cos (x)1+sen^2(x) d x

Passo 1

A gente tem que calcular a integral indefinida de sin(x)cos(x)1+sin^2(x),dx. Esse tipo de integral costuma ser resolvido por substituição, porque o numerador lembra a derivada de sin^2(x).

Passo 2

Escolho a substituição u = 1 + sin^2(x). Isso porque se eu derivar sin^2(x) vou obter um fator 2sin(x)cos(x), que está muito próximo do que aparece no numerador.

Passo 3

Calculo du:
du = 2sin(x)cos(x),dx
Logo,
sin(x)cos(x),dx = du2
Substituindo na integral original:
integral sin(x)cos(x)1+sin^2(x),dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral duu

Passo 4

Agora integro integral duu = ln|u| + C. Portanto:
12 integral duu = 12 ln|u| + C

Passo 5

Volto à variável original: u = 1 + sin^2(x). Então a resposta em termos de x fica:

Resposta

12lnl(1+sin^2(x)r)+C

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