Use a Regra da Cadeia para determinar d vd t :
v=x e^y / z, com x=t^2, y=1-t e z=1+2 t.

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular tfracdvdt da função v = x e^y/z, onde x = t^2, y = 1 - t e z = 1 + 2t. O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas e a regra do quociente para derivar y/z.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas das variáveis em relação a t:
dxdt = ddt(t^2) = 2t,
dydt = ddt(1 - t) = -1,
dzdt = ddt(1 + 2t) = 2

Passo 3

Para organizar a aplicação da regra da cadeia, a gente define uma variável intermediária u = tfracyz. Então v = x e^u e, pela regra da cadeia em duas variáveis,
dvdt = partial vpartial xdxdt + partial vpartial ududt
Como partial v/partial x = e^u e partial v/partial u = x e^u, isso vira
dvdt = e^u cdot dxdt + x e^u cdot dudt

Passo 4

Agora a gente calcula du/dt com a regra do quociente em u = y/z:
dudt = y',z - y,z'z^2 = (-1)(1+2t) - (1 - t)cdot 2(1+2t)^2 = -3(1+2t)^2

Passo 5

Por fim, substituímos u = tfracyz = tfrac1-t1+2t, x = t^2, dx/dt = 2t e du/dt = -3/(1+2t)^2 em dv/dt e simplificamos:
dvdt = e^1-t1+2tl(2t + t^2l(-tfrac3(1+2t)^2r)r) = e^1-t1+2tl(2t - 3t^2(1+2t)^2r)

Resposta

dvdt = e^1-t1+2tl(2t - 3t^2(1+2t)^2r)

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