Determine a Solução Geral da EDO:
y^prime prime+4 y^prime=2 sen(4 x)x+x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' = 2sin(4x)x + x
O conteúdo é EDOs lineares de segunda ordem. Para resolver precisamos da solução homogênea e de uma particular. A teoria envolve: (i) achar raízes da equação característica, (ii) usar redução de ordem ou fator integrante para a parte não homogênea.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y' = 0
A equação característica é r^2 + 4r = 0, com raízes r=0 e r=-4. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 + C2 e^-4x
Isso vem da teoria de equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular note que não aparece y isolado, apenas y' e y''. Então fazemos a redução de ordem definindo
u(x) = y'(x)
A EDO fica de primeira ordem:
u' + 4nu = 2sin(4x)x + x
Essa técnica simplifica a busca da parte particular.

Passo 4

Usamos o fator integrante para resolver
nu' + 4nu = f(x), f(x)=2sin(4x)x+x
O fator integrante é mu(x)=e^4x. Multiplicando, temos
ddxl(e^4xnur)=e^4xf(x)
Integrando,
nu(x)=y'(x)=e^-4xl(integral e^4xl(tfrac2sin(4x)x+xr)dx + Ar)

Passo 5

Separemos a integral em duas partes:
  1. integral e^4x,x,dx, que por partes dá
integral e^4xx,dx = e^4x4x - e^4x16 + C
  1. integral e^4x2sin(4x)xdx, que não tem primitiva elementar. Mantemos em forma de integral definida ou variável.

Passo 6

Assim obtemos
y'(x)=e^-4xl(2integral^x e^4tsin(4t)tdt + e^4x4x - e^4x16 + Ar)
Para achar y(x) integramos y'. A parte que envolve integral^x e^4tsin(4t)/t,dt gera uma integral de convolução que também não é elementar.

Passo 7

O resultado final, reunindo homogênea e particular, pode ser escrito em forma de integral de convolução do operador inverso. Uma expressão elegante é
y(x)=C1 + C2 e^-4x + x^28 - x16 + 12integral0^xl(1-e^-4(x-t)r)sin(4t)t,dt
Isso engloba a parte polinomial e a parte não elementar.

Passo 8

Na expressão acima temos:
  • C1,C2 constantes de integração,
  • x^2/8 - x/16 vindo da parte polinomial, e
  • a integral de convolução representando a resposta ao termo 2sin(4x)/x.
    Essa é a solução geral da EDO.

Passo 9

A teoria aplicada inclui: solução da homogênea por raízes da característica, redução de ordem para eliminar y, fator integrante para a equação de primeira ordem, e tratamento de integrais não elementares via forma integral.

Passo 10

No fim, a solução geral está dada pela soma da homogênea com a particular integral em forma de integral.

Passo 11

O aluno pode usar essa forma integral como resposta final e, se quiser, expressar a convolução em termos de funções especiais (por exemplo, integral exponencial ou integral seno), mas não há primitiva elementar para o termo sin(4x)/x.

Resposta

y(x)=C1 + C2 e^-4x + x^28 - x16 + 12integral0^xl(1-e^-4(x-t)r)sin(4t)t,dt

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