Determine a Solução Geral da EDO:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é EDOs lineares de segunda ordem. Para resolver precisamos da solução homogênea e de uma particular. A teoria envolve: (i) achar raízes da equação característica, (ii) usar redução de ordem ou fator integrante para a parte não homogênea.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
, com raízes
e
. Logo a solução homogênea é
Isso vem da teoria de equações lineares com coeficientes constantes.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular note que não aparece
isolado, apenas
e
. Então fazemos a redução de ordem definindo
A EDO fica de primeira ordem:
Essa técnica simplifica a busca da parte particular.
Passo 4
Usamos o fator integrante para resolver
O fator integrante é
. Multiplicando, temos
Integrando,
Passo 5
Separemos a integral em duas partes:
-
, que por partes dá
-
, que não tem primitiva elementar. Mantemos em forma de integral definida ou variável.
Passo 6
Assim obtemos
Para achar
integramos
. A parte que envolve
gera uma integral de convolução que também não é elementar.
Passo 7
O resultado final, reunindo homogênea e particular, pode ser escrito em forma de integral de convolução do operador inverso. Uma expressão elegante é
Isso engloba a parte polinomial e a parte não elementar.
Passo 8
Na expressão acima temos:
-
constantes de integração, -
vindo da parte polinomial, e - a integral de convolução representando a resposta ao termo
.
Essa é a solução geral da EDO.
Passo 9
A teoria aplicada inclui: solução da homogênea por raízes da característica, redução de ordem para eliminar
, fator integrante para a equação de primeira ordem, e tratamento de integrais não elementares via forma integral.
Passo 10
No fim, a solução geral está dada pela soma da homogênea com a particular integral em forma de integral.
Passo 11
O aluno pode usar essa forma integral como resposta final e, se quiser, expressar a convolução em termos de funções especiais (por exemplo, integral exponencial ou integral seno), mas não há primitiva elementar para o termo
.