A taxa de decaimento (variação) da massa do elemento químico rádio é proporcional, em cada instante, a quantidade de massa, isto é d md t=k m onde m=m(t) é a massa no instante t e k é a constante de proporcionalidade. Admita que no instante t=0 havia m0 gramas de rádio e que a massa diminui 1 % após 23 anos. Nestas condiçőes:
Encontre a função que descreve a massa de rádio no tempo t (medido em anos);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a taxa de decaimento da massa do rádio é proporcional à quantidade de massa presente no instante, ou seja, temos uma equação diferencial da forma dmdt = k , m. A gente precisa encontrar a função que descreve a massa de rádio ao longo do tempo, m(t), sabendo que inicialmente temos m0 gramas e que a massa diminui 1% após 23 anos. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais e a ideia de crescimento (ou decaimento) exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial: dmdt = k , m. Isso significa que a taxa de variação da massa em relação ao tempo é proporcional à própria massa. Esse tipo de equação é comum em situações de crescimento ou decaimento exponencial.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis. Vamos rearranjar a equação para termos todas as m de um lado e todas as t do outro:
dmm = k , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação. A integral de 1m , dm é ln |m|, e a integral de k , dt é k t + C, onde C é a constante de integração:
ln |m| = k t + C

Passo 5

Vamos resolver para m. Primeiro, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
m = e^k t + C = e^C cdot e^k t
Vamos chamar e^C de A, então:
m(t) = A cdot e^k t

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar A. Sabemos que quando t = 0, m = m0:
m(0) = A cdot e^k cdot 0 = A cdot 1 = A = m0
Então, a função fica:
m(t) = m0 cdot e^k t

Passo 7

Precisamos achar o valor de k. Sabemos que após 23 anos, a massa diminui 1%, ou seja, m(23) = 0,99 , m0. Substituindo na função:
0,99 , m0 = m0 cdot e^k cdot 23
Podemos dividir os dois lados por m0:
0,99 = e^23 k

Passo 8

Para resolver para k, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(0,99) = 23 k
Então,
k = ln(0,99)23
Calculando:
k approx -0,010050323 approx -0,0004374 , ano^-1

Passo 9

Agora, substituímos o valor de k de volta na função m(t):
m(t) = m0 cdot e^-0,0004374 , t

Resposta

A função que descreve a massa de rádio no tempo t (em anos) é:
m(t) = m0 cdot e^-0,0004374 , t

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