A taxa de decaimento (variação) da massa do elemento químico rádio é proporcional, em cada instante, a quantidade de massa, isto é
onde
é a massa no instante
e
é a constante de proporcionalidade. Admita que no instante
havia
gramas de rádio e que a massa diminui
após 23 anos. Nestas condiçőes:
Encontre a função que descreve a massa de rádio no tempo t (medido em anos);
Encontre a função que descreve a massa de rádio no tempo t (medido em anos);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a taxa de decaimento da massa do rádio é proporcional à quantidade de massa presente no instante, ou seja, temos uma equação diferencial da forma
. A gente precisa encontrar a função que descreve a massa de rádio ao longo do tempo,
, sabendo que inicialmente temos
gramas e que a massa diminui 1% após 23 anos. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais e a ideia de crescimento (ou decaimento) exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial:
. Isso significa que a taxa de variação da massa em relação ao tempo é proporcional à própria massa. Esse tipo de equação é comum em situações de crescimento ou decaimento exponencial.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis. Vamos rearranjar a equação para termos todas as
de um lado e todas as
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar os dois lados dessa equação. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração:
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Vamos chamar
de
, então:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Então, a função fica:
Passo 7
Precisamos achar o valor de
. Sabemos que após 23 anos, a massa diminui 1%, ou seja,
. Substituindo na função:
Podemos dividir os dois lados por
:
Passo 8
Para resolver para
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então,
Calculando:
Passo 9
Agora, substituímos o valor de
de volta na função
:
Resposta
A função que descreve a massa de rádio no tempo
(em anos) é: