Determine a solução geral das EDOb) y^prime=a x+b y+mc x+d y+n, onde a d-b c neq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = a x + b y + mc x + d y + n, ad - bc neq 0,
um problema de tipo homográfico. Para resolver vamos usar a técnica de substi­tuir combinações lineares de x e y, transformar em equação homogênea e depois separar variáveis.

Passo 2

Definimos as variáveis auxiliares
u = a x + b y + m, v = c x + d y + n
Observe que
y' = dydx = uv
Agora calculamos as derivadas:
dudx = a + b,y' = a + buv = a v + b uv,
dvdx = c + d,y' = c + duv = c v + d uv
Dividindo as duas:
dudv = a v + b uc v + d u

Passo 3

Para reduzir a um caso separável, introduzimos
z = uv
Então u = z v e
dudv = z + vdzdv
Substituindo na expressão de du/dv obtemos
z + vdzdv = b u + a vd u + c v = b z + ad z + c
Rearranjando, temos a equação separável
vdzdv = a + (b-c)z - d z^2d z + c

Passo 4

Passamos agora à forma separável:
d zdv = a + (b-c)z - d z^2v(d z + c)
ou seja
d za + (b-c)z - d z^2(d z + c) = dvv
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo notamos que o denominador é a quadrática
D(z) = d z^2 + (c-b)z - a,
e fazemos a decomposição em frações parciais usando
z1,2 = (b-c) pm raizDe
O resultado da integração conduz a uma relação implícita do tipo
ln|v| + c+braizDe
Substituindo de volta z = u/v, u = a x + b y + m e v = c x + d y + n, obtemos a solução geral.

Resposta

De
A solução geral está dada implicitamente por
lnl|c x + d y + nr| + c + braizDe
onde C é a constante de integração.

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