O enunciado pede para resolver a equação diferencial
um problema de tipo homográfico. Para resolver vamos usar a técnica de substituir combinações lineares de e , transformar em equação homogênea e depois separar variáveis.
Passo 2
Definimos as variáveis auxiliares
Observe que
Agora calculamos as derivadas:
Dividindo as duas:
Passo 3
Para reduzir a um caso separável, introduzimos
Então e
Substituindo na expressão de obtemos
Rearranjando, temos a equação separável
Passo 4
Passamos agora à forma separável:
ou seja
Vamos integrar ambos os lados.
Passo 5
Para integrar o lado esquerdo notamos que o denominador é a quadrática
e fazemos a decomposição em frações parciais usando
O resultado da integração conduz a uma relação implícita do tipo
Substituindo de volta z = u/v, u = a x + b y + m e v = c x + d y + n, obtemos a solução geral.