Faça o que se pede: Calcular a área sob o gráfico de y=(x+1)^-3 / 2 para x >=-0,5

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular a área sob o gráfico da função y=(x+1)^-3/2 de x=-0,5 até o infinito. O tema central é integral imprópria de função potência, e vamos usar troca de variável e a fórmula de primitiva para u^n.

Passo 2

Escrevemos a área como integral imprópria:
A = integral-0.5^infty(x+1)^-3/2,dx

Passo 3

Pra simplificar a conta, fazemos a troca de variável u = x+1. Quando x=-0,5, u=0,5; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira
A = integral0.5^inftyu^-3/2,du

Passo 4

A primitiva de u^-3/2 sai da regra integral u^n,du = u^n+1n+1 para nneq -1. Aqui n=-3/2, então n+1=-1/2 e
integral u^-3/2,du = -2u^-1/2

Passo 5

Agora avaliamos o limite impróprio. Primeiro, limbtoinfty(-2b^-1/2)=0 e (0.5)^-1/2=raiz2. Então a expressão do limite fica
0 + 2raiz2

Resposta

A área é 2raiz2.

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