Resolva as integrais por partes:
integral x^2 e^-5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2e^-5x,dx
usando o método de integração por partes. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e aplicá-la duas vezes por causa do polinômio x^2.

Passo 2

Para a primeira aplicação, façamos
u = x^2, dv = e^-5x,dx
Então
du = 2x,dx, v = integral e^-5x,dx = -15e^-5x

Passo 3

Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^-5x,dx = u,v - integral v,du = -x^25e^-5x - integrall(-15e^-5xr)2x,dx = -x^25e^-5x + 25integral x e^-5x,dx

Passo 4

Agora precisamos calcular
I1 = integral x e^-5x,dx
Fazemos segunda integração por partes escolhendo
u = x, dv = e^-5x,dx,
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du = dx, v = -15e^-5x

Passo 5

Aplicando em I1:
I1 = xl(-tfrac15e^-5xr) - integrall(-tfrac15e^-5xr)1,dx = -x5e^-5x + 15integral e^-5x,dx = -x5e^-5x + 15l(-15e^-5xr) = -x5e^-5x - 125e^-5x

Passo 6

Voltando à integral original e substituindo I1:
integral x^2 e^-5x,dx = -x^25e^-5x + 25l(-x5e^-5x - 125e^-5xr) + C = -x^25e^-5x - 2x25e^-5x - 2125e^-5x + C

Resposta

-\frac{x{2}}{5}e{-5x} - \frac{2x}{25}e^{-5x} - \frac{2}{125}e^{-5x} + C

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