Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
f)
Resp.
f)
Passo 1
Resumindo o enunciado: trata-se de um problema de Cauchy para a equação linear de 1ª ordem
Passo 2
Identificamos na forma padrão
que
e
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicando a equação original por
temos
$$e{-2x}y’-2e{-2x}y= -x2e{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\bigl(e{-2x}y\bigr)=-x2e^{-2x}.
$$
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Para calcular
usamos duas vezes integração por partes e obtemos
Logo
$$e{-2x}y=\tfrac12x2e^{-2x}+\tfrac12x e{-2x}+\tfrac14e{-2x}+C,
$$
o que implica
$$y=\tfrac12x^2+\tfrac12x+\tfrac14+C e^{2x}.
$$
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Portanto a solução particular é
que pode ser reescrita como
.
Resposta
y=\tfrac12\bigl(x2+x+\tfrac12+\tfrac12e{2x}\bigr)