Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
f) y^prime-2 y & =-x^2 y(0) & =1 / 2 ( Resp. y=12(x^2+x+12+e^2 x2))

Passo 1

Resumindo o enunciado: trata-se de um problema de Cauchy para a equação linear de 1ª ordem
y'-2y=-x^2 com condição inicial y(0)=1/2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos na forma padrão y'+p(x)y=q(x) que p(x)=-2 e q(x)=-x^2. O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^-2x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x) temos
$$e{-2x}y’-2e{-2x}y= -x2e{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\bigl(e{-2x}y\bigr)=-x2e^{-2x}.
$$

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^-2xy=integral -x^2e^-2x,dx + C
Para calcular integral x^2e^-2xdx usamos duas vezes integração por partes e obtemos
integral -x^2e^-2xdx=tfrac12x^2e^-2x+tfrac12x e^-2x+tfrac14e^-2x+K
Logo
$$e{-2x}y=\tfrac12x2e^{-2x}+\tfrac12x e{-2x}+\tfrac14e{-2x}+C,
$$
o que implica
$$y=\tfrac12x^2+\tfrac12x+\tfrac14+C e^{2x}.
$$

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=1/2:
tfrac12=tfrac14+CLongrightarrow C=tfrac14
Portanto a solução particular é
y=tfrac12x^2+tfrac12x+tfrac14+tfrac14e^2x,
que pode ser reescrita como y=tfrac12l(x^2+x+tfrac12+tfrac12e^2xr).

Resposta

y=\tfrac12\bigl(x2+x+\tfrac12+\tfrac12e{2x}\bigr)

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