Questão (3 pontos) Se no instante mostrado a velocidade do cursor é
para a direita como mostrado, encontre as velocidades angulares do disco de raio de 5 cm e da barra AB de comprimento de 17 cm . (o ponto B está alinhado com a parte inferior do disco)
Passo 1
O enunciado nos dá a situação mostrada (peguei estes dados da figura):
- A velocidade do cursor (o bloco/cursores em
) é para a direita. - O disco tem raio
. - A barra
tem comprimento . - O ponto
está alinhado horizontalmente com a parte inferior do disco (mesmo nível vertical do ponto mais baixo do disco).
O que a questão pede: encontrar as velocidades angulares do disco e da barra
no instante mostrado.
Observação sobre a imagem (importante): a posição de
no contorno do disco não vem numericamente no enunciado; pela figura
aparece no ponto superior do disco. Para conseguir um resultado numérico único, vou tomar a leitura da figura como sendo exatamente o ponto superior do disco (isto é,
no topo do círculo). Se essa leitura fosse diferente, os valores mudariam — mas para a resolução que segue adotarei
no ponto superior do disco.
Passo 2
Escolhendo um sistema de referência simples (pegando o centro do disco
como origem):
- Colocar o centro do disco em
. - Como o raio é
, o ponto superior do disco (assumido para ) tem coordenadas . - O ponto inferior do disco tem
. Como está alinhado com essa parte inferior, tem coordenada vertical . Escrevemos . - A distância entre
e é , portanto vale a equação (distância euclidiana):
Calculando:
Portanto
Assim temos coordenadas numéricas aproximadas para
:
Passo 3
Princípio cinemático que vamos usar (explicando com calma): para movimento plano rígido, a velocidade de um ponto devido a uma rotação em torno de um centro é dada pelo produto vetorial
. Em duas dimensões, com rotação em torno do eixo perpendicular ao plano (eixo
), se
é a velocidade angular (positiva no sentido anti-horário) e
é o vetor posição do ponto relativo ao centro de rotação, então o produto vetorial dá
Isto nos dá as componentes de velocidade:
e
. Aqui explico o que significa cada variável:
-
é a velocidade angular (rad/s) do corpo que está girando; o sinal indica sentido (positivo = anti-horário). -
é o vetor posição do ponto em relação ao centro de rotação (em ). -
são as componentes da velocidade linear do ponto (em ).
Vamos aplicar isso tanto para a rotação do disco em torno de
quanto para a rotação da barra em torno de
. Além disso, a velocidade absoluta de
é dada pela soma da velocidade de
(translação do pivô) mais a velocidade de
relativa a
causada pela rotação da barra:
Passo 4
Velocidade de
causada pela rotação do disco (em torno de
). Seja
a velocidade angular do disco (rad/s, positiva anti-horário). O vetor posição de
em relação a
é
. Usando a fórmula:
Ou seja, a velocidade de
devido ao disco tem apenas componente horizontal
e
. (Interpretação: se
(anti-horário),
se move para a esquerda; se
(horário),
se move para a direita.)
Passo 5
Velocidade de
vista a partir da barra e do movimento do bloco em
. Sabemos
(para a direita). Seja
a velocidade angular da barra (rad/s, positiva anti-horário). O vetor posição de
em relação a
é
Usando a regra do produto vetorial:
Portanto a velocidade absoluta de
é
Passo 6
Agora igualamos a velocidade de
obtida das duas descrições (disco e barra), componente a componente:
- Componente vertical (
):
Como
, isso dá imediatamente
Interpretação física: no instante considerado a barra não está girando — sua velocidade angular instantânea é nula.
- Componente horizontal (
):
Substituindo
:
O sinal negativo indica sentido horário. Em módulo a velocidade angular do disco é
.
Passo 7
Resumo e interpretação final (didático):
- A barra tem
no instante mostrado — isto significa que, instantaneamente, a barra mantém sua inclinação fixa e se move apenas por translação horizontal junto com . - O disco tem
, ou seja, gira com velocidade angular de no sentido horário.
Verificação rápida das unidades:obtido de dá em , consistente.