\mathbf{3}^{\text {a }} Questão (3 pontos) Se no instante mostrado a velocidade do cursor é 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} para a direita como mostrado, encontre as velocidades angulares do disco de raio de 5 cm e da barra AB de comprimento de 17 cm . (o ponto B está alinhado com a parte inferior do disco)

Passo 1

O enunciado nos dá a situação mostrada (peguei estes dados da figura):
  • A velocidade do cursor (o bloco/cursores em B) é \,5\\ \mathrm{cm/s} para a direita.
  • O disco tem raio \,5\\ \mathrm{cm}.
  • A barra AB tem comprimento \,17\\ \mathrm{cm}.
  • O ponto B está alinhado horizontalmente com a parte inferior do disco (mesmo nível vertical do ponto mais baixo do disco).
O que a questão pede: encontrar as velocidades angulares do disco e da barra AB no instante mostrado.
Observação sobre a imagem (importante): a posição de A no contorno do disco não vem numericamente no enunciado; pela figura A aparece no ponto superior do disco. Para conseguir um resultado numérico único, vou tomar a leitura da figura como sendo exatamente o ponto superior do disco (isto é, A no topo do círculo). Se essa leitura fosse diferente, os valores mudariam — mas para a resolução que segue adotarei A no ponto superior do disco.

Passo 2

Escolhendo um sistema de referência simples (pegando o centro do disco O como origem):
  • Colocar o centro do disco em O=(0,0).
  • Como o raio é \,5\\ \mathrm{cm}, o ponto superior do disco (assumido para A) tem coordenadas A=(0,5)\\ \mathrm{cm}.
  • O ponto inferior do disco tem y=-5. Como B está alinhado com essa parte inferior, B tem coordenada vertical y_B=-5. Escrevemos B=(x_B,-5).
  • A distância entre A e B é \,17\\ \mathrm{cm}, portanto vale a equação (distância euclidiana):
(0-x_B)^2+(5-(-5))^2 = 17^2.
Calculando:
x_B^2 + 10^2 = 289 \quad\Rightarrow\quad x_B^2 = 289-100 = 189.
Portanto
x_B = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}\approx 13{,}747\\ \mathrm{cm}.
Assim temos coordenadas numéricas aproximadas para B:
B=(3\sqrt{21},\,-5)\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Princípio cinemático que vamos usar (explicando com calma): para movimento plano rígido, a velocidade de um ponto devido a uma rotação em torno de um centro é dada pelo produto vetorial \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}. Em duas dimensões, com rotação em torno do eixo perpendicular ao plano (eixo z), se \omega é a velocidade angular (positiva no sentido anti-horário) e \mathbf{r}=(x,y) é o vetor posição do ponto relativo ao centro de rotação, então o produto vetorial dá
\omega\mathbf{k}\times(x,y,0) = \omega(-y,\,x,\,0).
Isto nos dá as componentes de velocidade: v_x = -\omega y e v_y = \omega x. Aqui explico o que significa cada variável:
  • \omega é a velocidade angular (rad/s) do corpo que está girando; o sinal indica sentido (positivo = anti-horário).
  • (x,y) é o vetor posição do ponto em relação ao centro de rotação (em \mathrm{cm}).
  • (v_x,v_y) são as componentes da velocidade linear do ponto (em \mathrm{cm/s}).
Vamos aplicar isso tanto para a rotação do disco em torno de O quanto para a rotação da barra em torno de B. Além disso, a velocidade absoluta de A é dada pela soma da velocidade de B (translação do pivô) mais a velocidade de A relativa a B causada pela rotação da barra:
\mathbf{v}_A = \mathbf{v}_B + \omega_{AB}\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{A/B}.

Passo 4

Velocidade de A causada pela rotação do disco (em torno de O). Seja \omega_d a velocidade angular do disco (rad/s, positiva anti-horário). O vetor posição de A em relação a O é \mathbf{r}_{A/O}=(0,5)\\ \mathrm{cm}. Usando a fórmula:
\mathbf{v}_A^{(\text{disco})} = \omega_d\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{A/O} = \omega_d(-5,\,0)\\ \mathrm{cm/s}.
Ou seja, a velocidade de A devido ao disco tem apenas componente horizontal v_{A,x}^{(\text{disco})} = -5\,\omega_d e v_{A,y}^{(\text{disco})}=0. (Interpretação: se \omega_d>0 (anti-horário), A se move para a esquerda; se \omega_d<0 (horário), A se move para a direita.)

Passo 5

Velocidade de A vista a partir da barra e do movimento do bloco em B. Sabemos \mathbf{v}_B=(5,0)\\ \mathrm{cm/s} (para a direita). Seja \omega_{AB} a velocidade angular da barra (rad/s, positiva anti-horário). O vetor posição de A em relação a B é
\mathbf{r}_{A/B} = \mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B = (0-x_B,\;5-(-5)) = (-x_B,\;10)\\ \mathrm{cm}.
Usando a regra do produto vetorial:
\omega_{AB}\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{A/B} = \omega_{AB}(-10,\,-x_B)\\ \mathrm{cm/s}.
Portanto a velocidade absoluta de A é
\mathbf{v}_A = \mathbf{v}_B + \omega_{AB}\,\mathbf{k}\times\mathbf{r}_{A/B} = \big(5 - 10\,\omega_{AB},\; 0 - x_B\,\omega_{AB}\big).

Passo 6

Agora igualamos a velocidade de A obtida das duas descrições (disco e barra), componente a componente:
  • Componente vertical ( y):
v_{A,y}^{(\text{disco})}=0 \quad=\quad v_{A,y}^{(\text{barra})}= -x_B\,\omega_{AB}.
Como x_B=3\sqrt{21}\neq 0, isso dá imediatamente
\omega_{AB}=0\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação física: no instante considerado a barra não está girando — sua velocidade angular instantânea é nula.
  • Componente horizontal ( x):
v_{A,x}^{(\text{disco})} = -5\,\omega_d \quad=\quad v_{A,x}^{(\text{barra})}= 5 - 10\,\omega_{AB}.
Substituindo \omega_{AB}=0:
-5\,\omega_d = 5 \quad\Rightarrow\quad \omega_d = -1\\ \mathrm{rad/s}.
O sinal negativo indica sentido horário. Em módulo a velocidade angular do disco é |\omega_d|=1\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Resumo e interpretação final (didático):
  • A barra tem \omega_{AB}=0\\ \mathrm{rad/s} no instante mostrado — isto significa que, instantaneamente, a barra mantém sua inclinação fixa e se move apenas por translação horizontal junto com B.
  • O disco tem \omega_d=-1\\ \mathrm{rad/s}, ou seja, gira com velocidade angular de \,1\\ \mathrm{rad/s} no sentido horário.
    Verificação rápida das unidades: \omega_d obtido de -5\,\omega_d = 5 \omega_d = -5/5 = -1 em \mathrm{(cm/s)}/\mathrm{cm} = \mathrm{rad/s}, consistente.

Resposta

\omega_{\text{disco}} = -1\\ \mathrm{rad/s} (sentido horário)
\omega_{\text{barra}} = 0\\ \mathrm{rad/s}

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