Determine a solução geral das edo’s de Bernoulli:
n x d yd x+2 y=x y^n+1

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
n,xdydx+2y = x,y^n+1,
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é transformação da Bernoulli em uma equação linear pelo substitutivo apropriado.

Passo 2

Dividimos tudo por n,x para obter a forma padrão
dydx + 2n,x,y = 1n,y^,n+1
Aqui P(x)=tfrac2n,x, Q(x)=tfrac1n e o expoente de Bernoulli é alpha = n+1.

Passo 3

Fazemos o substitutivo
u = y^,1-alpha = y^-n
Então
dudx = -n,y^-n-1dydx
Reescrevendo a equação original em termos de u (multiplicando por y^-n-1) chega-se a
-1ndudx + 2n,x,u = 1n
Multiplicando por n e reorganizando,
dudx - 2x,u = -1

Passo 4

Essa é uma equação linear em u. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2 obtém-se
ddxl(u,x^-2r) = -x^-2
Integrando em x,
u,x^-2 = integral -x^-2,dx = x^-1 + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolando u,
u = y^-n = x^2l(x^-1+Cr) = x + C,x^2

Passo 6

Volta-se à variável y:
y^-n = x + C,x^2 Longrightarrow y = l(x + C,x^2r)^-tfrac1n = l[x,(1 + C,x)r]^-tfrac1n

Resposta

boxedy(x) = l(x + C,x^2r)^-tfrac1n,
com C constante arbitrária.

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