Resolva o problema de valor inicial
d yd x=3 x^2+4 x+22(y-1), y(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de valor inicial
dydx = 3x^2 + 4x + 22,(y-1), y(0) = -1
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais separáveis, em que podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro para então integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por 2(y-1),dx:
2,(y-1),dy = l(3x^2 + 4x + 2r),dx

Passo 3

Integre cada lado em relação à sua variável:
integral 2,(y-1),dy = integral l(3x^2 + 4x + 2r),dx
No lado esquerdo,
integral 2,(y-1),dy = 2integral (y-1),dy = 2l(tfracy^22 - yr) = y^2 - 2y
No lado direito,
integral l(3x^2 + 4x + 2r),dx = x^3 + 2x^2 + 2x + C,
onde C é a constante de integração. Logo a relação implícita é
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=-1. Substituindo x=0 e y=-1 em
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C
(-1)^2 - 2(-1) = 0 + C Longrightarrow 1 + 2 = C Longrightarrow C = 3
Assim a relação fica
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + 3

Passo 5

Resolva a equação quadrática em y:
y^2 - 2y - (x^3 + 2x^2 + 2x + 3) = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
y = 2 pm raiz4 + 4,(x^3+2x^2+2x+3)2 = 1 pm raizx^3 + 2x^2 + 2x + 4
Para escolher o sinal, imponha y(0)=-1:
1 + raiz4 = 3 não dá -1, 1 - raiz4 = -1 é o valor desejado ãáé
Portanto a solução explícita é
y(x) = 1 - raizx^3 + 2x^2 + 2x + 4

Resposta

y(x) = 1 - raizx^3 + 2x^2 + 2x + 4

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