Determine a solução geral das edo’s de Bernoulli:
3 y^2 y^prime-a y^3-x-1=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de Bernoulli
3,y^2,y' - a,y^3 - x - 1 = 0
O conteúdo é método para EDOs de Bernoulli. Vamos precisar:
  1. Colocar na forma padrão
  2. Identificar n e fazer a substituição u=y^1-n
  3. Resolver a linear para u
  4. Voltar para y.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão y' + P(x),y = Q(x),y^n:
3,y^2,y' = a,y^3 + x + 1
y' = a,y^33,y^2 + x+13,y^2
y' - a3,y = x+13,y^-2
Aqui P(x)=-tfraca3, Q(x)=tfracx+13 e n=-2.

Passo 3

Para EDO de Bernoulli com n=-2 usamos
u = y^1-n = y^1-(-2) = y^3
Então
u' = 3,y^2,y'
Mas da equação original 3,y^2,y' = a,y^3 + x + 1. Logo
u' = a,u + x + 1

Passo 4

Resolvendo a linear
u' - a,u = x + 1
O fator integrante é
mu(x)=e^integral(-a),dx=e^-a x
Multiplicando por mu e integrando,
l(u,e^-a xr)' = (x+1),e^-a x
u,e^-a x = integral (x+1),e^-a x,dx
Calculemos
integral x,e^-a x,dx = -xa,e^-a x - 1a^2,e^-a x, integral e^-a x,dx = -1a,e^-a x,
somando,
integral (x+1),e^-a x,dx = -e^-a xl(xa + 1a^2 + 1ar) + C
Portanto
u,e^-a x = -e^-a xl(xa + 1+aa^2r) + C
u = C,e^a x - xa - 1+aa^2

Passo 5

Voltando a y, lembrando u=y^3:
y^3 = C,e^a x - xa - 1+aa^2
Logo a solução geral é
y(x) = gl(C,e^a x - xa - 1+aa^2gr)^!1/3,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = gl(C,e^a x - xa - 1+aa^2gr)^!1/3

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