Nos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
t^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t, y(-1)=0, t<0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
t^3y' + 4t^2y = e^-t, y(-1)=0, t<0
Isso é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Vamos primeiro escrever na forma padrão
y' + 4t,y = e^-tt^3,
e em seguida usar fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral 4t,dtr) = expl(4ln|t|r) = t^4
Multiplicando a equação por mu(t) obtém-se
t^4y' + 4t^3y = t^4,e^-tt^3 Longrightarrow ddtl(t^4yr)=t,e^-t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^4y = integral t,e^-t,dt + C
Fazendo integração por partes em integral t,e^-tdt (com u=t, dv=e^-tdt) vem
integral t,e^-tdt = -(t+1)e^-t,
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t^4y = -(t+1)e^-t + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(-1)=0. Em t=-1 temos
(-1)^4 cdot 0 = -l(-1+1r)e^-(-1) + C ;Longrightarrow; 0 = 0 + C ;Longrightarrow; C=0
Assim a solução particular é
y = -(t+1)e^-tt^4

Resposta

y(t) = -(t+1)e^-tt^4, t<0

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