Determine a solução geral das edo’s de Bernoulli:
x d yd x+y+x^2 y^2=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Bernoulli
xdydx+y+x^2y^2=0
O conteúdo é a técnica de resolução de equações de Bernoulli do tipo
dydx+P(x),y=Q(x),y^n,
aqui com n=2, P(x)=tfrac1x e Q(x)=-x. Vamos usar a substituição u=y^1-n=y^-1.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por x para pôr na forma padrão:
dydx+1x,y=-x,y^2

Passo 3

Fazemos a substituição
u=y^-1
Então
dudx=-y^-2,dydx
Substituindo dydx da equação em u
-u';=;y^-2l(dydxr) =;y^-2l(-tfrac1x,y - x,y^2r) =;- 1xy^-1 - x,
ou seja
dudx=1x,u + x

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear em u:
dudx-1x,u = x
O fator integrante é
mu(x)=e^integral -1xdx=x^-1
Multiplicando por mu:
l(x^-1ur)' = x^-1cdot x = 1
Integrando em x:
x^-1u = x + C Longrightarrow u = x^2 + Cx

Passo 5

Voltando a y, como u=y^-1, temos
y^-1=x^2+Cx Longrightarrow y=1x^2+Cx

Resposta

boxedy(x)=1x^2+Cx, CinR

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