Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^{2}+2 x}{y}, y(0)=4

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache a solução geral da EDO e depois use a condição inicial para selecionar a solução particular. As informações dadas são:
  • A equação diferencial: \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+2x}{y}.
  • A condição inicial: y(0)=4.

Passo 2

Explico a ideia do método “separável” passo a passo (calma, é tranquilo): uma EDO é separável quando conseguimos escrever todos os fatores com y num lado e todos os fatores com x no outro lado, de forma que possamos integrar ambos os lados em variáveis diferentes. Depois de separar, integramos cada lado em relação à sua variável.
No nosso caso a equação tem a derivada \frac{dy}{dx} e uma expressão que é uma função de x dividida por y. Podemos multiplicar ambos os lados por y e por dx para obter y do lado de dy e funções de x do lado de dx. Em seguida integramos:
\int (\text{algo em }y)\,dy = \int (\text{algo em }x)\,dx.
Ao integrar, cada lado recebe uma constante de integração; depois combinamos essas constantes em uma só constante arbitrária.

Passo 3

Separe as variáveis movendo y para o lado esquerdo e dx para o direito:
y\,dy = (3x^{2}+2x)\,dx.
Agora integramos os dois lados em suas respectivas variáveis.

Passo 4

Integração dos dois lados. À esquerda:
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2} + C_{1},
porque a integral de y em relação a y é \frac{y^{2}}{2}.
À direita:
\int (3x^{2}+2x)\,dx = \int 3x^{2}\,dx + \int 2x\,dx = x^{3} + x^{2} + C_{2},
pois \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (aqui \int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3} e \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}).
Igualando as integrais e juntando constantes:
\frac{1}{2}y^{2} + C_{1} = x^{3} + x^{2} + C_{2}.
Subtraindo C_{1} e chamando C = C_{2}-C_{1} (uma constante arbitrária qualquer), obtemos
\frac{1}{2}y^{2} = x^{3} + x^{2} + C.

Passo 5

Isolamos y^{2} e depois y. Multiplicando por 2:
y^{2} = 2x^{3} + 2x^{2} + C',
onde C' = 2C é outra constante arbitrária (renomeamos para simplificar).
Tomando raiz quadrada em ambos os lados aparece o sinal \pm:
y(x) = \pm\sqrt{2x^{3} + 2x^{2} + C'}.
Essa é a solução geral (a constante C' contém toda a informação da família de curvas). A escolha do sinal \pm será feita usando a condição inicial.

Passo 6

Aplique a condição inicial y(0)=4. Substituindo x=0 na expressão de y^{2}:
y(0)^{2} = 2\cdot 0^{3} + 2\cdot 0^{2} + C' \quad\Rightarrow\quad 4^{2} = C'.
Logo C' = 16.
Como y(0)=4>0, escolhemos o sinal positivo da raiz para que a solução satisfaça a condição inicial. Assim a solução particular é
y(x) = \sqrt{2x^{3} + 2x^{2} + 16}.
Lembrete rápido: essa expressão só faz sentido (no conjunto dos reais) onde o radicando 2x^{3}+2x^{2}+16 for não negativo; perto de x=0 isso é verdade porque vale 16. A condição inicial garante que usamos a raiz positiva.

Resposta

Geral: y(x)=\pm\sqrt{2x^{3}+2x^{2}+C'}.\nParticular com y(0)=4: y(x)=\sqrt{2x^{3}+2x^{2}+16}.

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