Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que a gente ache a solução geral da EDO e depois use a condição inicial para selecionar a solução particular. As informações dadas são:
- A equação diferencial:
. - A condição inicial:
.
Passo 2
Explico a ideia do método “separável” passo a passo (calma, é tranquilo): uma EDO é separável quando conseguimos escrever todos os fatores com
num lado e todos os fatores com
no outro lado, de forma que possamos integrar ambos os lados em variáveis diferentes. Depois de separar, integramos cada lado em relação à sua variável.
No nosso caso a equação tem a derivada
e uma expressão que é uma função de
dividida por
. Podemos multiplicar ambos os lados por
e por
para obter
do lado de
e funções de
do lado de
. Em seguida integramos:
Ao integrar, cada lado recebe uma constante de integração; depois combinamos essas constantes em uma só constante arbitrária.
Passo 3
Separe as variáveis movendo
para o lado esquerdo e
para o direito:
Agora integramos os dois lados em suas respectivas variáveis.
Passo 4
Integração dos dois lados. À esquerda:
porque a integral de
em relação a
é
.
À direita:
pois
(aqui
e
).
Igualando as integrais e juntando constantes:
Subtraindo
e chamando
(uma constante arbitrária qualquer), obtemos
Passo 5
Isolamos
e depois
. Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária (renomeamos para simplificar).
Tomando raiz quadrada em ambos os lados aparece o sinal
:
Essa é a solução geral (a constante
contém toda a informação da família de curvas). A escolha do sinal
será feita usando a condição inicial.
Passo 6
Aplique a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Logo
.
Como
, escolhemos o sinal positivo da raiz para que a solução satisfaça a condição inicial. Assim a solução particular é
Lembrete rápido: essa expressão só faz sentido (no conjunto dos reais) onde o radicando
for não negativo; perto de
isso é verdade porque vale
. A condição inicial garante que usamos a raiz positiva.
Resposta
Geral:
\nParticular com
: