Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
e a condição inicial
Portanto precisamos achar uma função
que satisfaça a EDO acima e passe pelo ponto dado pela condição inicial.
Passo 2
Identificamos que a EDO é separável — ou seja, dá para colocar todos os termos que dependem de
de um lado e todos os termos que dependem de
do outro. Vou separar as variáveis: dividir ambos os lados por
e multiplicar por
. Obtemos
Essa manipulação é permitida sempre que
. Note que
para todo
, então não há problema aqui.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Vou explicar as integrais usadas:
- A integral
é uma integral padrão cuja primitiva é , porque . - A integral
é , pois .
Integrando ambos os lados obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora isolamos
. Aplicando a função tangente (a inversa da
no ramo principal) aos dois lados, obtemos a família de soluções
Isto é a solução geral (família de soluções) da EDO antes de aplicar a condição inicial. É importante lembrar que a tangente tem assíntotas verticais onde não está definida, então cada solução tem um domínio máximo onde
evita
.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
(usar
evita ambiguidade de ramos), temos
Sabemos que
(valor no ramo principal), logo
Assim a solução específica que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando
usando regra da cadeia,
Como
e
, isso dá
que é exatamente a EDO original. Então está consistente.
Passo 7
Comentário sobre domínio (útil na prova): a solução é válida enquanto
estiver definida, ou seja enquanto
O primeiro valor crítico positivo ocorre quando
, isto é
. Portanto a solução existe, pelo menos, no intervalo aberto
em torno de
.