Determine a solução geral das EDOs separávels a seguir:
\frac{d y}{d x}=2 x\left(y^{2}+1\right), y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial com condição inicial. As informações dadas são:
\frac{dy}{dx}=2x\bigl(y^{2}+1\bigr)
e a condição inicial
y(0)=1.
Portanto precisamos achar uma função y(x) que satisfaça a EDO acima e passe pelo ponto dado pela condição inicial.

Passo 2

Identificamos que a EDO é separável — ou seja, dá para colocar todos os termos que dependem de y de um lado e todos os termos que dependem de x do outro. Vou separar as variáveis: dividir ambos os lados por \bigl(y^{2}+1\bigr) e multiplicar por dx. Obtemos
\frac{dy}{y^{2}+1}=2x\,dx.
Essa manipulação é permitida sempre que \bigl(y^{2}+1\bigr)\neq 0. Note que \bigl(y^{2}+1\bigr)>0 para todo y, então não há problema aqui.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • A integral \int \frac{dy}{1+y^{2}} é uma integral padrão cuja primitiva é \arctan(y), porque \frac{d}{dy}\bigl(\arctan(y)\bigr)=\frac{1}{1+y^{2}}.
  • A integral \int 2x\,dx é \;x^{2}+C, pois \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Integrando ambos os lados obtemos
\arctan(y)=x^{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora isolamos y. Aplicando a função tangente (a inversa da \arctan no ramo principal) aos dois lados, obtemos a família de soluções
y=\tan\bigl(x^{2}+C\bigr).
Isto é a solução geral (família de soluções) da EDO antes de aplicar a condição inicial. É importante lembrar que a tangente tem assíntotas verticais onde não está definida, então cada solução tem um domínio máximo onde x^{2}+C evita \frac{\pi}{2}+k\pi.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 em \arctan(y)=x^{2}+C (usar \arctan evita ambiguidade de ramos), temos
\arctan(1)=0+C.
Sabemos que \arctan(1)=\frac{\pi}{4} (valor no ramo principal), logo
C=\frac{\pi}{4}.
Assim a solução específica que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\tan\!\left(x^{2}+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 6

Checagem rápida (para ganhar confiança): derivando y(x)=\tan\!\left(x^{2}+\frac{\pi}{4}\right) usando regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^{2}\!\left(x^{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cdot 2x.
Como \operatorname{sec}^{2}(u)=1+\tan^{2}(u) e \tan\!\left(x^{2}+\frac{\pi}{4}\right)=y, isso dá
\frac{dy}{dx}=2x\bigl(1+y^{2}\bigr),
que é exatamente a EDO original. Então está consistente.

Passo 7

Comentário sobre domínio (útil na prova): a solução é válida enquanto \tan estiver definida, ou seja enquanto
x^{2}+\frac{\pi}{4}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
O primeiro valor crítico positivo ocorre quando x^{2}=\frac{\pi}{4}, isto é |x|=\frac{\sqrt{\pi}}{2}. Portanto a solução existe, pelo menos, no intervalo aberto \left(-\frac{\sqrt{\pi}}{2},\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) em torno de x=0.

Resposta

y(x)=\tan\!\left(x^{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)

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