Determine a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Temos a equação diferencial\n\n\n\n(y \ln y - e^{-yx}),dx + \bigl(1/y + x \ln y\bigr),dy = 0\n\n\n\nO conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Vamos verificar se ela é exata e, em caso negativo, buscar um fator integrante.
Passo 2
Identificamos M(x,y)= y \ln y - e^{-yx} e N(x,y)= 1/y + x \ln y. Calculamos as derivadas parciais:\n\n\n\n∂M/∂y = ln y + 1 + x e^{-yx}, e ∂N/∂x = ln y.\n\n\n\nComo ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, a equação não é exata.
Passo 3
Observando o termo e^{-yx}, testamos o fator integrante μ(x,y)= e^{yx}. Multiplicando a equação por e^{yx}, obtemos:\n\n\n\nM’ = y \ln y,e^{yx} - 1, \quad N’ = e^{yx}\bigl(1/y + x \ln y\bigr).\n\n\n\nChecamos a exatidão: ∂M’/∂y = e^{yx}(1/y + x \ln y) + e^{yx}x y \ln y, ∂N’/∂x = e^{yx}(1/y + x \ln y) + e^{yx}x y \ln y, logo ∂M’/∂y = ∂N’/∂x e a equação torna-se exata.
Passo 4
Para obter a função potencial φ(x,y), integramos φ_x = M’ em relação a x:\n\n\n\nφ(x,y) = \int (y \ln y,e^{yx} - 1),dx = \ln y,e^{yx} - x + h(y).\n\n\n\nDerivando em relação a y e igualando a N’, encontramos h’(y)=0, então h(y) é constante. Assim, a solução implícita é φ(x,y)=C.
Resposta
A solução geral é