Determine a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(5 y - 2 x) y’ - 2 y = 0,
o que caracteriza uma equação homogênea de grau zero em x e y, pois a função f(x,y)=2y/(5y-2x) depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição y = v x para reduzir a ordem e obter uma equação separável.
(5 y - 2 x) y’ - 2 y = 0,
o que caracteriza uma equação homogênea de grau zero em x e y, pois a função f(x,y)=2y/(5y-2x) depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição y = v x para reduzir a ordem e obter uma equação separável.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão temos
Como é homogênea, fazemos y = v x, logo
Substituindo na equação:
Isolando dv/dx:
Passo 3
Agora separamos variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Juntando os logaritmos e exponenciando, obtemos
onde C é constante arbitrária. Voltando a y = v x:
Multiplicando por x²:
Passo 5
Essa é a forma implícita da solução geral. Podemos também escrever em forma explícita resolvendo a quadrática em y, mas a forma implícita é suficiente e mais compacta.
Resposta
y(4x - 5y) = C