Determine a solução geral da equação diferencial abaixo:
(5 y-2 x) y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(5 y - 2 x) y’ - 2 y = 0,
o que caracteriza uma equação homogênea de grau zero em x e y, pois a função f(x,y)=2y/(5y-2x) depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição y = v x para reduzir a ordem e obter uma equação separável.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão temos
dydx = 2y5y - 2x
Como é homogênea, fazemos y = v x, logo
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação:
v + xdvdx = 2 v x5 v x - 2 x = 2v5v - 2
Isolando dv/dx:
xdvdx = 2v5v - 2 - v = v (4 - 5v)5v - 2

Passo 3

Agora separamos variáveis:
5v - 2v(4 - 5v),dv = dxx
Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
5v - 2v(4 - 5v) = -121v + 5214 - 5v
Integrando ambos os lados:
integrall(-tfrac121v + tfrac5214 - 5vr)dv = integraldxx
-tfrac12ln|v| - tfrac12ln|4 - 5v| = ln|x| + C

Passo 4

Juntando os logaritmos e exponenciando, obtemos
lnl|v(4 - 5v)r| = -2ln|x| + C1
v(4 - 5v) = C x^-2,
onde C é constante arbitrária. Voltando a y = v x:
yxl(4 - 5yxr) = C x^-2
Multiplicando por x²:
y(4x - 5y) = C

Passo 5

Essa é a forma implícita da solução geral. Podemos também escrever em forma explícita resolvendo a quadrática em y, mas a forma implícita é suficiente e mais compacta.

Resposta

y(4x - 5y) = C

Exercícios relacionados