Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
d y+y d x=0 ; \quad y(1)=1).
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
d y+y d x=0 ; \quad y(1)=1).
Passo 1
O enunciado pede para resolver o EDO de primeira ordem separável
com condição inicial
Passo 2
Reescrevendo a equação de forma separável e assumindo
:
$$(1+x^2),dy = -y,dx
Passo 3
Agora integramos dos dois lados:
Portanto:
Passo 4
Isolando
, obtemos uma solução geral do tipo
onde
é uma constante positiva (já que
).
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Logo
.
Passo 6
Substituindo
na solução geral, concluímos que a solução do P.V.I. é
Resposta
y(x) = e^{\pi/4 - \arctan x}