Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
d y+y d x=0 ; \quad y(1)=1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o EDO de primeira ordem separável
(1+x^2),dy + y,dx = 0,
com condição inicial y(1)=1. Vamos usar separação de variáveis e lembrar que
integral1y,dy=ln|y|+C e integral11+x^2,dx=arctan x+C.

Passo 2

Reescrevendo a equação de forma separável e assumindo yneq0:
$$(1+x^2),dy = -y,dx
(1+x^2),dy = -y,dx \frac{1}{y},dy = -\frac{1}{1+x^2},dx.$$

Passo 3

Agora integramos dos dois lados:
integral1y,dy = integral -11+x^2,dx
Portanto:
ln|y| = -arctan x + C

Passo 4

Isolando y, obtemos uma solução geral do tipo
y = C'e^-arctan x,
onde C'=e^C é uma constante positiva (já que e^C>0).

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1 = C'e^-arctan(1) = C'e^-pi/4
Logo C' = e^pi/4.

Passo 6

Substituindo C' na solução geral, concluímos que a solução do P.V.I. é
y(x) = e^pi/4e^-arctan x = e^pi/4 - arctan x

Resposta

y(x) = e^{\pi/4 - \arctan x}

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