Determine a solução geral da equação diferencial abaixo:
x d yd x+4 y=x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
x dydx + 4 y = x^3 - x
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão, identificar os componentes necessários e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos toda a equação original por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
x
Agora, identificamos que:
  • $ P(x) = \frac{4}{x} $
  • $ Q(x) = x^{2} - 1 $

Passo 3

Agora que temos $ P(x) $ e $ Q(x) $, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $. O fator integrante é dado por:
P(x)
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Q(x)
Então, o fator integrante é:
mu(x)
Como estamos trabalhando com $ x $ positivo, podemos simplificar para:
mu(x) = e^integral P(x) dx

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante $ \mu(x) = x^{4} $:
mu(x) = x^4
A ideia aqui é que, após a multiplicação, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto $ \mu(x) y $.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ x^{4} y $. Ou seja:
x^4 y
Isso simplifica bastante a nossa equação!

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ x^{4} y $, e a do lado direito:
integral ddx (x^4 y) dx = integral (x^6 - x^4) dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
y
Dividindo ambos os lados por $ x^{4} $:
x^4 y = x^77 - x^55 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(x) = x^37 - x5 + Cx^4
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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