Determine a solução geral da equação diferencial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão, identificar os componentes necessários e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação original por $ x $ (assumindo que $ x \neq 0 $):
Agora, identificamos que:
- $ P(x) = \frac{4}{x} $
- $ Q(x) = x^{2} - 1 $
Passo 3
Agora que temos $ P(x) $ e $ Q(x) $, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Então, o fator integrante é:
Como estamos trabalhando com $ x $ positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante $ \mu(x) = x^{4} $:
A ideia aqui é que, após a multiplicação, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto $ \mu(x) y $.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ x^{4} y $. Ou seja:
Isso simplifica bastante a nossa equação!
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ x^{4} y $, e a do lado direito:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos $ y $ para encontrar a solução geral:
Dividindo ambos os lados por $ x^{4} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.