Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I: Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere $\log (|y|)$ quando for o caso.
log (|y|);

Passo 1

Temos a equação diferencial y'(t)=t^2+1y^2+1. O conteúdo aqui é separação de variáveis em ODEs, e vamos precisar usar a técnica de isolar y num lado e t no outro antes de integrar.

Passo 2

Reescrevendo y' = dydt, separamos as variáveis:
(y^2+1),dy = (t^2+1),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral (y^2+1),dy = integral (t^2+1),dt

Passo 4

Calculando as integrais:
integral (y^2+1),dy = y^33 + y + C1, integral (t^2+1),dt = t^33 + t + C2

Passo 5

Agrupando as constantes em uma só, C = C2 - C1, obtemos a solução implícita:
y^33 + y = t^33 + t + C

Passo 6

Note que y^2+1>0 para todo y, então não há casos singulares a separar. Mantemos a solução geral implícita.

Resposta

y^33 + y = t^33 + t + C

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