determine a solução geral da equação diferencial
Passo 1
Enunciado: determinar a solução geral da equação diferencial
.
Informações fornecidas:
- A incógnita é a função
de uma variável independente (que chamaremos de ). - A equação está escrita na forma diferencial
, que corresponde à relação entre a variação infinitesimal de e em si.
O que é pedido:
- A solução geral, i.e., a família de todas as funções
que satisfazem essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro passo de interpretação: escrever a equação em forma padrão envolvendo derivada. Dividindo por
(assumindo que
é a variável independente) obtemos
Aqui
é a derivada de
em relação a
, que representa a taxa de variação de
quando
varia.
Passo 3
Escolha do método: como a equação pode ser rearranjada para isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro, usamos o método de separação de variáveis — é o mais direto e básico aqui.
Reescrevendo a equação como
podemos separar as variáveis
e
colocando todos os fatores que dependem de
à esquerda e os que dependem de
à direita:
Observação importante: ao dividir por
supomos temporariamente
. A função
(identicamente zero) é solução particular e será recuperada como caso
no final.
Passo 4
Agora integramos os dois lados. Explico a regra usada:
porque a derivada de
é
. Integrando,
gera
onde
é a constante de integração (número real arbitrário).
Passo 5
Para isolar
aplicamos exponenciação em ambos os lados:
Definindo
, temos
. Isso dá
. Como o sinal pode ser absorvido em uma constante arbitrária
que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero), escrevemos a solução geral como
onde
. Note que
corresponde à solução trivial
.
Passo 6
Verificação rápida (para você checar na prova): calcule
quando
. Temos
Somando
obtemos
portanto a expressão satisfaz a equação original. Tudo certo!