determine a solução geral da equação diferencial
d y+2 y=0

Passo 1

Enunciado: determinar a solução geral da equação diferencial \mathrm{d}y + 2y = 0.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é a função y de uma variável independente (que chamaremos de x).
  • A equação está escrita na forma diferencial \mathrm{d}y + 2y = 0, que corresponde à relação entre a variação infinitesimal de y e y em si.
O que é pedido:
  • A solução geral, i.e., a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro passo de interpretação: escrever a equação em forma padrão envolvendo derivada. Dividindo por \mathrm{d}x (assumindo que x é a variável independente) obtemos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2y = 0.
Aqui \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} é a derivada de y em relação a x, que representa a taxa de variação de y quando x varia.

Passo 3

Escolha do método: como a equação pode ser rearranjada para isolar os termos com y de um lado e os termos com x do outro, usamos o método de separação de variáveis — é o mais direto e básico aqui.
Reescrevendo a equação como
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -2y,
podemos separar as variáveis y e x colocando todos os fatores que dependem de y à esquerda e os que dependem de x à direita:
\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = -2\,\mathrm{d}x.
Observação importante: ao dividir por y supomos temporariamente y\neq 0. A função y\equiv 0 (identicamente zero) é solução particular e será recuperada como caso C=0 no final.

Passo 4

Agora integramos os dois lados. Explico a regra usada: \displaystyle\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \ln|y| + C porque a derivada de \ln|y| é 1/y. Integrando,
\int \frac{1}{y}\,\mathrm{d}y = \int -2\,\mathrm{d}x
gera
\ln|y| = -2x + C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário).

Passo 5

Para isolar y aplicamos exponenciação em ambos os lados:
|y| = e^{-2x + C} = e^{C} e^{-2x}.
Definindo C_1 = e^{C}>0, temos |y| = C_1 e^{-2x}. Isso dá y = \pm C_1 e^{-2x}. Como o sinal pode ser absorvido em uma constante arbitrária C que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero), escrevemos a solução geral como
y = C e^{-2x},
onde C\in\mathbb{R}. Note que C=0 corresponde à solução trivial y\equiv 0.

Passo 6

Verificação rápida (para você checar na prova): calcule \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} quando y = C e^{-2x}. Temos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -2C e^{-2x}.
Somando 2y obtemos
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2y = -2C e^{-2x} + 2C e^{-2x} = 0,
portanto a expressão satisfaz a equação original. Tudo certo!

Resposta

y = C e^{-2x},\\ C\in\mathbb{R}

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