(3 pts) Dada uma função z=f(x, y) definida sobre uma regiāo B do plano x y, define-se seu valor média como o número
f_{m}=\frac{1}{A(B)} \cdot \iint_{B} f(x, y) d x d y
onde A(B) é a área da região B. Sabendo disso, calcule o valor médio da funçāo f(x, y)=c^{2} y no retângulo R=[0,2] \times[1,4].

Passo 1

O enunciado fornece:
f(x,y)=c^{2}y
definida no retângulo
R=[0,2]\times[1,4].
Também é dada a definição do valor médio de uma função sobre uma região B:
f_{m}=\frac{1}{A(B)}\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy,
onde A(B) é a área da região B. A tarefa é calcular o valor médio de f sobre R, ou seja, encontrar f_{m} para B=R.

Passo 2

Calcular a área do retângulo R. A área de um retângulo é a largura vezes a altura. Aqui a largura é 2-0 e a altura é 4-1. Logo,
A(R)=(2-0)(4-1)=2\cdot 3=6.

Passo 3

Escrever a fórmula do valor médio aplicada a R:
f_{m}=\frac{1}{A(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy=\frac{1}{6}\iint_{R} c^{2}y\,dx\,dy.
Observação didática: como c é constante (não depende de x nem de y), podemos tirar c^{2} para fora da integral:
f_{m}=\frac{1}{6}c^{2}\iint_{R} y\,dx\,dy.

Passo 4

Transformar a integral dupla em uma integral iterada (região retangular permite isso):
\iint_{R} y\,dx\,dy=\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=1}^{4} y\,dy\right)dx.
Calcular a integral interna em y:
\int_{y=1}^{4} y\,dy=\left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{1}^{4}=\frac{1}{2}(4^{2}-1^{2})=\frac{1}{2}(16-1)=\frac{15}{2}.
Portanto
\iint_{R} y\,dx\,dy=\int_{x=0}^{2} \frac{15}{2}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em x:
\int_{x=0}^{2} \frac{15}{2}\,dx=\frac{15}{2}\cdot \left.\,x\right|_{0}^{2}=\frac{15}{2}\cdot 2=15.
Então a integral dupla original vale 15, e com o fator c^{2} temos
\iint_{R} c^{2}y\,dx\,dy = c^{2}\cdot 15.

Passo 6

Agora dividir pelo área A(R)=6 para obter o valor médio:
f_{m}=\frac{1}{6}\cdot c^{2}\cdot 15 = c^{2}\cdot \frac{15}{6}=c^{2}\cdot \frac{5}{2}.
Interpretação prática: se, por exemplo, c=1 o valor médio seria \tfrac{5}{2}=2{,}5.

Resposta

\frac{5}{2}c^{2}

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