(3 pts) Dada uma função
definida sobre uma regiāo
do plano
, define-se seu valor média como o número
onde
é a área da região
. Sabendo disso, calcule o valor médio da funçāo
no retângulo
.
Passo 1
O enunciado fornece:
definida no retângulo
Também é dada a definição do valor médio de uma função sobre uma região
:
onde
é a área da região
. A tarefa é calcular o valor médio de
sobre
, ou seja, encontrar
para
.
Passo 2
Calcular a área do retângulo
. A área de um retângulo é a largura vezes a altura. Aqui a largura é
e a altura é
. Logo,
Passo 3
Escrever a fórmula do valor médio aplicada a
:
Observação didática: como
é constante (não depende de
nem de
), podemos tirar
para fora da integral:
Passo 4
Transformar a integral dupla em uma integral iterada (região retangular permite isso):
Calcular a integral interna em
:
Portanto
Passo 5
Calcular a integral em
:
Então a integral dupla original vale
, e com o fator
temos
Passo 6
Agora dividir pelo área
para obter o valor médio:
Interpretação prática: se, por exemplo,
o valor médio seria
.