Questão extra: (2 pts) Sendo S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x, y \geq 0, y \leq 1-x^{2}, \mathbb{O} \leq z \leq x^{2}+y^{2}\right\}, calcule o volume do conjunto S.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; y\le 1-x^{2},\; 0\le z\le x^{2}+y^{2}\}.
Pergunta: calcular o volume do conjunto S.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;x e \;y estão restritos ao primeiro quadrante ( x\ge0,\;y\ge0).
\;y está abaixo da curva \;y=1-x^{2}.
\;z varia entre \;0 e \;x^{2}+y^{2}.
O volume pedido é o volume tridimensional do sólido descrito por essas desigualdades.

Passo 2

Ideia para calcular o volume (explicação didática):
Para um sólido descrito por uma região de base D no plano xy e altura em cada ponto (x,y) dada por uma função \;h(x,y) (com 0\le z\le h(x,y)), o volume é a integral dupla da altura sobre a base:
\text{Volume}=\iint_{D} h(x,y)\,dA.
Aqui a “altura” em cada (x,y) é \;h(x,y)=x^{2}+y^{2}, e a base D é o conjunto de (x,y) com \;x\ge0,\;y\ge0,\;y\le 1-x^{2}. Vamos, portanto, calcular
\text{Volume}=\iint_{D} (x^{2}+y^{2})\,dA.

Passo 3

Determinar explicitamente os limites da região D no plano xy:
A curva \;y=1-x^{2} é um ramo da parábola voltada para baixo, com interseções com o eixo x em x=\pm1 e máximo em x=0 com y=1. Restrigindo a x\ge0 e y\ge0, a projeção D é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 1-x^{2}\}.
Assim podemos escrever a integral iterada (integrando primeiro em y, depois em x):
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x^{2}} (x^{2}+y^{2})\,dy\,dx.
Explicação do porquê da ordem: integrar em y primeiro é natural aqui porque para cada x fixo a condição de y é simplesmente 0\le y\le 1-x^{2}.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Usamos as primitivas básicas:
  • A primitiva de x^{2} em relação a y (onde x é tratado como constante) é x^{2}y.
  • A primitiva de y^{2} em relação a y é \dfrac{y^{3}}{3}.
Portanto, para 0\le y\le 1-x^{2},
\int_{0}^{1-x^{2}} (x^{2}+y^{2})\,dy = \left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=0}^{y=1-x^{2}} = x^{2}(1-x^{2})+\frac{(1-x^{2})^{3}}{3}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para o integrando em x.
Primeiro escrevemos o somatório:
x^{2}(1-x^{2})+\frac{(1-x^{2})^{3}}{3}.
Expandimos (1-x^{2})^{3}. Lembre que (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}. Com a=1, b=x^{2}, obtemos
(1-x^{2})^{3}=1-3x^{2}+3x^{4}-x^{6}.
Dividindo por 3
\frac{(1-x^{2})^{3}}{3}=\frac{1}{3}-x^{2}+x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.
Agora somamos com x^{2}(1-x^{2})=x^{2}-x^{4}:
x^{2}-x^{4}+\left(\frac{1}{3}-x^{2}+x^{4}-\frac{x^{6}}{3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{x^{6}}{3}.
Factorizando \dfrac{1}{3} obtemos um integrando muito simples:
\frac{1}{3}\bigl(1-x^{6}\bigr).

Passo 6

Agora a integral em x fica
\text{Volume}=\int_{0}^{1} \frac{1}{3}\bigl(1-x^{6}\bigr)\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{6}\bigr)\,dx.
Calculemos a integral de potências: a primitiva de 1 é x e a primitiva de x^{6} é \dfrac{x^{7}}{7}. Assim
\int_{0}^{1}\bigl(1-x^{6}\bigr)\,dx = \left[x-\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{1} = 1-\frac{1}{7} = \frac{6}{7}.

Passo 7

Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} temos
\text{Volume}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}.
Pequeno comentário final para dar confiança: as contas foram feitas usando integrais básicas e propriedades algébricas; o valor \dfrac{2}{7} é positivo e tem ordem de grandeza compatível com uma região limitada entre 0 e 1 nas duas direções do plano.

Resposta

\dfrac{2}{7}

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