Questão extra: (2 pts) Sendo
, calcule o volume do conjunto
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
Pergunta: calcular o volume do conjunto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
e
estão restritos ao primeiro quadrante (
).
está abaixo da curva
.
varia entre
e
.
O volume pedido é o volume tridimensional do sólido descrito por essas desigualdades.
O volume pedido é o volume tridimensional do sólido descrito por essas desigualdades.
Passo 2
Ideia para calcular o volume (explicação didática):
Para um sólido descrito por uma região de base no plano
e altura em cada ponto
dada por uma função
(com
), o volume é a integral dupla da altura sobre a base:
Para um sólido descrito por uma região de base
Aqui a “altura” em cada
é
, e a base
é o conjunto de
com
. Vamos, portanto, calcular
Passo 3
Determinar explicitamente os limites da região
no plano
:
A curva é um ramo da parábola voltada para baixo, com interseções com o eixo
em
e máximo em
com
. Restrigindo a
e
, a projeção
é
A curva
Assim podemos escrever a integral iterada (integrando primeiro em
, depois em
):
Explicação do porquê da ordem: integrar em
primeiro é natural aqui porque para cada
fixo a condição de
é simplesmente
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Usamos as primitivas básicas:
- A primitiva de
em relação a (onde é tratado como constante) é . - A primitiva de
em relação a é .
Portanto, para
,
Passo 5
Simplificar a expressão obtida para o integrando em
.
Primeiro escrevemos o somatório:
Primeiro escrevemos o somatório:
Expandimos
. Lembre que
. Com
,
, obtemos
Dividindo por
dá
Agora somamos com
:
Factorizando
obtemos um integrando muito simples:
Passo 6
Agora a integral em
fica
Calculemos a integral de potências: a primitiva de
é
e a primitiva de
é
. Assim
Passo 7
Multiplicando pelo fator
temos
Pequeno comentário final para dar confiança: as contas foram feitas usando integrais básicas e propriedades algébricas; o valor
é positivo e tem ordem de grandeza compatível com uma região limitada entre 0 e 1 nas duas direções do plano.