Resolva o PVI em cada item de forma que a solução seja contínua em todo domínio y+2 x y=Q(x), onde Q(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { se } 0 \leqslant x<1 \\\\ 0, x \quad x \geqslant 1\end{array}\right. e y (0)=2
Passo 1
O enunciado fornece um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial abaixo. As informações dadas são:
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial e que seja contínua em todo o domínio x\ge 0. Vamos resolver peça por peça (intervalos onde Q é diferente), e garantir continuidade em x=1.]
Passo 2
Método a usar (explicação didática): esta é uma equação linear de primeira ordem da forma
y' + p(x)y = g(x),
onde aqui p(x)=2x e g(x)=Q(x). A técnica padrão é usar um fator integrante \mu(x) tal que, depois de multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)y.
Resumo e verificação rápida (para ficar seguro e confiante):
Para x=0 a solução do primeiro ramo dá y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=2, conforme a condição inicial.
Em x=1 ambas as expressões coincidem:\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{-1} \quad\text{e}\quad \frac{e+3}{2}e^{-1}são iguais (verificação algébrica no Passo 4), então a função é contínua em x=1.
Em cada ramo a equação diferencial é satisfeita (verificável substituindo as soluções).
Boa — resolvemos tudo passo a passo e garantimos continuidade.