Resolva o PVI em cada item de forma que a solução seja contínua em todo domínio
y+2 x y=Q(x), onde Q(x)=\left\{\begin{array}{l}x, \text { se } 0 \leqslant x<1 \\\\ 0, x \quad x \geqslant 1\end{array}\right. e y (0)=2

Passo 1

O enunciado fornece um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial abaixo. As informações dadas são:
\text{Equação: } y' + 2x\,y = Q(x),çã
\text{com } Q(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<1,\\[4pt] 0, & x\ge 1,\end{cases}
\text{condição inicial: } y(0)=2.çã
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação e a condição inicial e que seja contínua em todo o domínio x\ge 0. Vamos resolver peça por peça (intervalos onde Q é diferente), e garantir continuidade em x=1.]

Passo 2

Método a usar (explicação didática): esta é uma equação linear de primeira ordem da forma
y' + p(x)y = g(x),
onde aqui p(x)=2x e g(x)=Q(x). A técnica padrão é usar um fator integrante \mu(x) tal que, depois de multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)y.
O fator integrante é dado por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
No nosso caso
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2x\,dx\Big)=\exp(x^2)=e^{x^2}.
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos a forma
\big(e^{x^2}y\big)' = e^{x^2}Q(x).
Isso significa que, para cada intervalo em que Q(x) é conhecido, podemos integrar ambos os lados para achar e^{x^2}y, e daí y.

Passo 3

Solução no intervalo 0\le x<1 (onde Q(x)=x) — passo a passo e justificando cada integral:
A equação transformada é
\big(e^{x^2}y\big)' = e^{x^2}\,x.
Integramos em x:
e^{x^2}y = \int e^{x^2}x\,dx + C_1.
Para calcular \displaystyle\int e^{x^2}x\,dx usamos a substituição u=x^2. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int e^{x^2}x\,dx = \tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}e^{u} + \text{const} = \tfrac{1}{2}e^{x^2} + \text{const}.
Substituindo na expressão para e^{x^2}y obtemos
e^{x^2}y = \tfrac{1}{2}e^{x^2} + C_1.
Dividindo por e^{x^2} (que nunca é zero) temos a solução geral no intervalo:
y(x)=\tfrac{1}{2} + C_1 e^{-x^2},\qquad 0\le x<1.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0)=\tfrac{1}{2} + C_1 e^{0}=\tfrac{1}{2}+C_1=2.
Portanto
C_1 = 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Logo, para 0\le x<1,
y(x)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{-x^2}.

Passo 4

Solução no intervalo x\ge 1 (onde Q(x)=0) — passo a passo:
Com Q(x)=0 a equação transformada é
\big(e^{x^2}y\big)' = 0.
Integrando,
e^{x^2}y = C_2,
onde C_2 é constante. Assim a solução geral no intervalo homogêneo é
y(x)=C_2 e^{-x^2},\qquad x\ge 1.
Agora precisamos determinar C_2. O enunciado exige que a solução seja contínua em todo domínio; então devemos impor continuidade em x=1:
y(1^-)=y(1^+).
Calculamos y(1^-) usando a solução do Passo 3:
y(1^-)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{-1}.
A solução para x\ge 1 y(1^+)=C_2 e^{-1}. Igualando,
C_2 e^{-1} = \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{-1}.
Multiplicando por e para isolar C_2,
C_2 = e\Big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{-1}\Big) = \tfrac{1}{2}e + \tfrac{3}{2}.
Podemos agrupar termos:
C_2 = \tfrac{e+3}{2}.
Portanto, para x\ge 1,
y(x)=\frac{e+3}{2}\,e^{-x^2}.

Passo 5

Resumo e verificação rápida (para ficar seguro e confiante):
  • Para x=0 a solução do primeiro ramo dá y(0)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}=2, conforme a condição inicial.
  • Em x=1 ambas as expressões coincidem: \tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{2}e^{-1} \quad\text{e}\quad \frac{e+3}{2}e^{-1}são iguais (verificação algébrica no Passo 4), então a função é contínua em x=1.
  • Em cada ramo a equação diferencial é satisfeita (verificável substituindo as soluções).
Boa — resolvemos tudo passo a passo e garantimos continuidade.

Resposta

y(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-x^{2}}, & 0\le x<1,\\[8pt] \dfrac{e+3}{2}\,e^{-x^{2}}, & x\ge 1. \end{cases}]

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