Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar como as soluções se comportam quando t \rightarrow \infty :
y^{\prime}+2 t y=2 t e^{t^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2t\,y = 2t\,e^{t^2}
e pede a solução geral e o comportamento das soluções quando t\to\infty. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante: calcular um fator que torne o lado esquerdo uma derivada de produto, integrar e resolver para y.

Passo 2

Estimamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int 2t\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t^2\bigr) = e^{t^2}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t^2}:
e^{t^2}y' + 2t\,e^{t^2}y = 2t\,e^{t^2}e^{t^2} = 2t\,e^{2t^2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t^2}\bigr) = 2t\,e^{2t^2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y\,e^{t^2} = \int 2t\,e^{2t^2}\,dt + C.
Para calcular a integral, notamos que
\frac{d}{dt}\bigl(e^{2t^2}\bigr) = 4t\,e^{2t^2},
logo
\int 2t\,e^{2t^2}\,dt = \frac12\,e^{2t^2}.
Assim
y\,e^{t^2} = \frac12\,e^{2t^2} + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral:
y = \frac12\,e^{2t^2 - t^2} + C\,e^{-t^2} = \frac12\,e^{t^2} + C\,e^{-t^2},
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Para ver o comportamento quando t\to\infty, note que
\frac12\,e^{t^2}\longrightarrow +\infty, \quad C\,e^{-t^2}\longrightarrow 0.
Logo, independentemente de C, as soluções crescem como \tfrac12\,e^{t^2} e divergem para +\infty quando t\to\infty.

Resposta

A solução geral é
y(t) = \frac12\,e^{t^2} + C\,e^{-t^2}.
Quando t \to \infty, tem-se y(t)\sim \tfrac12\,e^{t^2}\to +\infty.

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