Determine a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar como as soluções se comportam quando
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede a solução geral e o comportamento das soluções quando
. O conteúdo que vamos usar é o método do fator integrante: calcular um fator que torne o lado esquerdo uma derivada de produto, integrar e resolver para
.
Passo 2
Estimamos o fator integrante
como
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para calcular a integral, notamos que
logo
Assim
Passo 5
Isolando
, obtemos a solução geral:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Para ver o comportamento quando
, note que
Logo, independentemente de
, as soluções crescem como
e divergem para
quando
.
Resposta
A solução geral é
Quando
, tem-se
.