Encontre a solução das equações diferenciais de Bernoulli abaixo:
\frac{d y}{d x}=x y-x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
\frac{dy}{dx} = x\,y - x\,y^{3}.
O conteúdo é a equação de Bernoulli, que tem a forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Vamos reescrever a equação no formato padrão, identificar P(x), Q(x) e n, e aplicar a substituição
u = y^{1 - n}.

Passo 2

Colocando em forma linearizada para Bernoulli:
\frac{dy}{dx} - x\,y = -\,x\,y^{3}.
Aqui identificamos
P(x) = -\,x,\quad Q(x) = -\,x,\quad n = 3.

Passo 3

Multiplicamos a equação por y^{-3} para preparar a substituição:
y^{-3}\,\frac{dy}{dx} - x\,y^{-2} = -\,x.
Como u = y^{1 - n} = y^{-2}, calculamos
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(y^{-2}\bigr) = -2\,y^{-3}\,\frac{dy}{dx},
ou seja,
y^{-3}\,\frac{dy}{dx} = -\tfrac12\,\frac{du}{dx}.
Substituindo em cima:
-\tfrac12\,\frac{du}{dx} \;-\; x\,u = -\,x.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por -2 para obter uma equação linear em u:
\frac{du}{dx} + 2\,x\,u = 2\,x.

Passo 5

Esta é uma equação linear de 1º ordem em u. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int 2\,x\,dx} = e^{x^2}.
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
e^{x^2}\,\frac{du}{dx} + 2\,x\,e^{x^2}\,u = 2\,x\,e^{x^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{x^2}\bigr) = 2\,x\,e^{x^2}.
Integrando em x:
u\,e^{x^2} = \int 2\,x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
u = 1 + C\,e^{-x^2}.

Passo 6

Voltando à substituição u = y^{-2}:
y^{-2} = 1 + C\,e^{-x^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \frac{1}{1 + C\,e^{-x^2}} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\frac{1}{\sqrt{1 + C\,e^{-x^2}}}.

Resposta

y(x) = \pm \bigl(1 + C\,e^{-x^2}\bigr)^{-\tfrac12},
onde C é a constante de integração.

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