Determine a solução geral da equaçåo diferencial dada.
y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y'' + 8y' - 9y = 0.
Informações dadas e observações úteis: é uma equação diferencial de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes (os coeficientes são 1, 8 e -9). Não há condições iniciais fornecidas, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Estratégia inicial (motivo didático): vamos tentar uma solução da forma exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso facilita transformar a equação diferencial numa equação algébrica (o tal polinômio característico). Proponho
y(x)=e^{r x},
onde r é um número a determinar. Agora calcule as derivadas:
y'(x)=r e^{r x},
y''(x)=r^{2} e^{r x}.

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação diferencial:
r^{2} e^{r x} + 8 r e^{r x} - 9 e^{r x} = 0.
Fatorando e^{r x} (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
r^{2} + 8r - 9 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática. Calcule o discriminante:
\Delta = 8^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100,
logo \sqrt{\Delta}=10. As raízes são
r = \frac{-8 \pm 10}{2}.
Portanto
r_{1} = \frac{-8 + 10}{2} = 1,
r_{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9.

Passo 5

Conclusão sobre a forma da solução: como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}.
Substituindo os valores de r_{1} e r_{2},
y(x)=C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-9x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinação delas exige condições iniciais).

Passo 6

Verificação rápida (pra você confiar no resultado): calcule
y' = C_{1} e^{x} - 9C_{2} e^{-9x},
y'' = C_{1} e^{x} + 81 C_{2} e^{-9x}.
Substituindo em y''+8y'-9y e agrupando termos em C_{1}e^{x} e C_{2}e^{-9x}, os coeficientes ficam 1+8-9=0 e 81-72-9=0. Logo a combinação anula a equação, ou seja, é solução válida. Dica prática para a prova: memoriza o passo "supor y=e^{rx} → montar o polinômio característico → resolver para r" — funciona quase sempre para coeficientes constantes. Vai dar certo!

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-9x}

Exercícios relacionados