Determine a solução geral da equaçåo diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações úteis: é uma equação diferencial de segunda ordem, linear, homogênea, com coeficientes constantes (os coeficientes são
,
e
). Não há condições iniciais fornecidas, então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Estratégia inicial (motivo didático): vamos tentar uma solução da forma exponencial porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso facilita transformar a equação diferencial numa equação algébrica (o tal polinômio característico). Proponho
onde
é um número a determinar. Agora calcule as derivadas:
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação diferencial:
Fatorando
(que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
Passo 4
Agora resolvemos a equação quadrática. Calcule o discriminante:
logo
. As raízes são
Portanto
Passo 5
Conclusão sobre a forma da solução: como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
Substituindo os valores de
e
,
onde
e
são constantes arbitrárias (determinação delas exige condições iniciais).
Passo 6
Verificação rápida (pra você confiar no resultado): calcule
Substituindo em
e agrupando termos em
e
, os coeficientes ficam
e
. Logo a combinação anula a equação, ou seja, é solução válida. Dica prática para a prova: memoriza o passo "supor
→ montar o polinômio característico → resolver para
" — funciona quase sempre para coeficientes constantes. Vai dar certo!