Lembre que cosh b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 e operatorname{senh} b t=\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) / 2. Encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.
f(t)=\operatorname{senh} b t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função \operatorname{senh} b t. As informações que temos são:

\operatorname{senh} b t=\dfrac{e^{b t}-e^{-b t}}{2} (isso foi fornecido no enunciado).

A variável de tempo é t\ge 0, e a e b são constantes reais (neste problema só aparece b). O objetivo: calcular \mathcal{L}\{\operatorname{senh} b t\}(s).

Passo 2

Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace. Para uma função f(t) definida em t\ge 0, a transformada é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui s é, em geral, um número complexo; para que a integral impropria convirja precisamos que a parte real de s seja suficientemente grande (isso será especificado depois). Na prática, para funções exponenciais vamos exigir \operatorname{Re}(s) maior que certos limites para que o expoente -s t faça a integral decair.

Passo 3

Usamos a expressão dada para \operatorname{senh} b t. Pela linearidade da transformada de Laplace (a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem da integral), temos
\mathcal{L}\{\operatorname{senh} b t\}(s) = \mathcal{L}\!\left\{\frac{e^{b t}-e^{-b t}}{2}\right\}(s) = \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)\;-\;\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{e^{-b t}\}(s).
Ou seja, basta calcular \mathcal{L}\{e^{b t}\} e \mathcal{L}\{e^{-b t}\}.

Passo 4

Calculo a transformada de e^{a t} em geral (aqui a será b ou -b). Pelo definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Faça a mudança k=s-a. Então a integral é \int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt. Sabemos que
\int_{0}^{\infty} e^{-k t}\,dt=\left[\frac{e^{-k t}}{-k}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{k},
desde que \operatorname{Re}(k)>0 (ou seja, para que e^{-k t}\to 0 quando t\to\infty). Voltando, obtemos
\mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad\text{para }\operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a).
Essa é uma fórmula padrão: a transformada de e^{a t} é \dfrac{1}{s-a} com região de convergência \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a).

Passo 5

Aplicando o resultado do passo anterior aos nossos casos:
\mathcal{L}\{e^{b t}\}(s)=\frac{1}{s-b}\quad\text{para }\operatorname{Re}(s)>b,
\mathcal{L}\{e^{-b t}\}(s)=\frac{1}{s+b}\quad\text{para }\operatorname{Re}(s)>-b.
Para que ambas as transformadas estejam definidas simultaneamente precisamos da interseção das regiões: \operatorname{Re}(s)>b e \operatorname{Re}(s)>-b. Isso é equivalente a \operatorname{Re}(s)>|b|. Portanto a região de convergência será \operatorname{Re}(s)>|b|.

Passo 6

Substituindo no passo 3:
\mathcal{L}\{\operatorname{senh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right).
Agora simplifico essa expressão fazendo um denominador comum:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-b}-\frac{1}{s+b}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{(s+b)-(s-b)}{(s-b)(s+b)}\right).
No numerador (s+b)-(s-b)=2b. Então
\mathcal{L}\{\operatorname{senh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2b}{s^{2}-b^{2}}=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}.

Passo 7

Resumo e condição de convergência: a transformada ficou bem simples e a região de validade (convergência da integral) é \operatorname{Re}(s)>|b|. Lembre que essa condição vem porque precisamos que tanto \mathcal{L}\{e^{b t}\} quanto \mathcal{L}\{e^{-b t}\} existam.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{senh} b t\}(s)=\frac{b}{s^{2}-b^{2}}
para \operatorname{Re}(s)>|b|.

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