Lembre que
e
. Encontre a transformada de Laplace da função dada;
e
são constantes reais.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. As informações que temos são:
(isso foi fornecido no enunciado).
A variável de tempo é , e
e
são constantes reais (neste problema só aparece
). O objetivo: calcular
.
A variável de tempo é
Passo 2
Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace. Para uma função
definida em
, a transformada é
Aqui
é, em geral, um número complexo; para que a integral impropria convirja precisamos que a parte real de
seja suficientemente grande (isso será especificado depois). Na prática, para funções exponenciais vamos exigir
maior que certos limites para que o expoente
faça a integral decair.
Passo 3
Usamos a expressão dada para
. Pela linearidade da transformada de Laplace (a transformada de soma é soma das transformadas e constantes saem da integral), temos
Ou seja, basta calcular
e
.
Passo 4
Calculo a transformada de
em geral (aqui
será
ou
). Pelo definição,
Faça a mudança
. Então a integral é
. Sabemos que
desde que
(ou seja, para que
quando
). Voltando, obtemos
Essa é uma fórmula padrão: a transformada de
é
com região de convergência
.
Passo 5
Aplicando o resultado do passo anterior aos nossos casos:
Para que ambas as transformadas estejam definidas simultaneamente precisamos da interseção das regiões:
e
. Isso é equivalente a
. Portanto a região de convergência será
.
Passo 6
Substituindo no passo 3:
Agora simplifico essa expressão fazendo um denominador comum:
No numerador
. Então
Passo 7
Resumo e condição de convergência: a transformada ficou bem simples e a região de validade (convergência da integral) é
. Lembre que essa condição vem porque precisamos que tanto
quanto
existam.
Resposta
para
.