Questão 1:(2,5 pontos) Considere a função f(x) definida pela série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{4^{n}(2 n)!} x^{2 n+1}
(a) Calcule o raio de convergência da série que define f(x).
(b) Calcule f^{(5)}(0) e f^{(6)}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) definida pela série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{4^{n}(2 n)!} x^{2 n+1}.
O que ele pede:
(a) Calcular o raio de convergência da série que define f(x).
(b) Calcular f^{(5)}(0) e f^{(6)}(0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente geral associado ao termo x^{2n+1} é
a_n=\frac{(n!)^{2}}{4^{n}(2 n)!},\quad n\ge 1.
  • A série tem apenas potências ímpares x^{2n+1}, começando em n=1 (modo: menor expoente é 2\cdot1+1=3).

Passo 2

Como calcular o raio de convergência: usamos o teste da razão (uma técnica padrão para séries de potências). A ideia é considerar o termo geral da série como
b_n=a_n x^{2n+1},
calcular o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|,
e exigir L<1 para convergência. Esse limite vai dar uma condição em |x|; a partir dela obtemos o raio R tal que a série converge para |x|<R.

Passo 3

Calculo explícito da razão \left|\dfrac{b_{n+1}}{b_n}\right|.
Primeiro a razão dos coeficientes:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{((n+1)!)^{2}}{4^{\,n+1}(2n+2)!}}{\dfrac{(n!)^{2}}{4^{\,n}(2n)!}} = \frac{((n+1)!)^{2}}{(n!)^{2}}\cdot\frac{4^{\,n}}{4^{\,n+1}}\cdot\frac{(2n)!}{(2n+2)!}.
Agora simplificamos passo a passo:
\frac{((n+1)!)^{2}}{(n!)^{2}}=(n+1)^{2},\qquad \frac{4^{\,n}}{4^{\,n+1}}=\frac{1}{4},
e
\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2}}{4(2n+2)(2n+1)}.
Observando 2n+2=2(n+1), isso vira
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{2}}{4\cdot 2(n+1)(2n+1)}=\frac{n+1}{8(2n+1)}.
Agora a razão completa com x:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = \frac{n+1}{8(2n+1)}\;|x|^{2},
porque o fator em potências de x é x^{2(n+1)+1}/x^{2n+1}=x^{2}.
Tomando limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{8(2n+1)}\,|x|^{2} =\frac{1}{16}\,|x|^{2},
já que \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{2n+1}=\dfrac{1}{2}.
Para convergência pelo teste da razão precisamos de L<1, ou seja
\frac{1}{16}\,|x|^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|^{2}<16 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<4.
Portanto o raio de convergência é R=4.

Passo 4

Como calcular derivadas em zero a partir de uma série de potências: se uma função tem expansão
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k x^{k},
então a relação entre coeficiente e derivada em zero é
f^{(k)}(0)=k!\,c_k.
Explicando: ao derivar k vezes o termo c_k x^k obtemos k!\,c_k, e todos os termos com potência menor que k viram zero em x=0; assim o valor da derivada de ordem k em zero é exatamente k! c_k.
No nosso caso os coeficientes c_k são zero para k par e para muitas ordens; especificamente só aparecem termos com k=2n+1. Então para calcular f^{(5)}(0) buscamos o coeficiente do termo x^{5}; para f^{(6)}(0) buscamos coeficiente de x^{6}.

Passo 5

Encontrar o coeficiente do termo x^{5}. Resolva 2n+1=5 para achar qual n gera esse expoente:
2n+1=5 \Longrightarrow n=2.
Então o coeficiente c_5 é a_2. Calculamos a_2:
a_2=\frac{(2!)^{2}}{4^{2}(4)!}=\frac{(2)^{2}}{16\cdot 24}=\frac{4}{384}=\frac{1}{96}.

Passo 6

Calcular f^{(5)}(0) usando f^{(5)}(0)=5!\,c_5:
f^{(5)}(0)=5!\cdot\frac{1}{96}=\frac{120}{96}=\frac{5}{4}.

Passo 7

Calcular f^{(6)}(0). Observação: não existe termo em x^{6} na série original, pois todos os expoentes têm a forma 2n+1 (ímpares). Portanto o coeficiente c_6 é zero, e assim
f^{(6)}(0)=6!\,c_6=6!\cdot 0=0.

Resposta

(a) R=4
(b) f^{(5)}(0)=\dfrac{5}{4},\quad f^{(6)}(0)=0

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