O que ele pede:
(a) Calcular o raio de convergência da série que define f(x).
(b) Calcular f^{(5)}(0) e f^{(6)}(0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O coeficiente geral associado ao termo x^{2n+1} é
a_n=\frac{(n!)^{2}}{4^{n}(2 n)!},\quad n\ge 1.
A série tem apenas potências ímpares x^{2n+1}, começando em n=1 (modo: menor expoente é 2\cdot1+1=3).
Passo 2
Como calcular o raio de convergência: usamos o teste da razão (uma técnica padrão para séries de potências). A ideia é considerar o termo geral da série como
Como calcular derivadas em zero a partir de uma série de potências: se uma função tem expansão
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k x^{k},
então a relação entre coeficiente e derivada em zero é
f^{(k)}(0)=k!\,c_k.
Explicando: ao derivar k vezes o termo c_k x^k obtemos k!\,c_k, e todos os termos com potência menor que k viram zero em x=0; assim o valor da derivada de ordem k em zero é exatamente k! c_k.
No nosso caso os coeficientes c_k são zero para k par e para muitas ordens; especificamente só aparecem termos com k=2n+1. Então para calcular f^{(5)}(0) buscamos o coeficiente do termo x^{5}; para f^{(6)}(0) buscamos coeficiente de x^{6}.
Passo 5
Encontrar o coeficiente do termo x^{5}. Resolva 2n+1=5 para achar qual n gera esse expoente:
Calcular f^{(6)}(0). Observação: não existe termo em x^{6} na série original, pois todos os expoentes têm a forma 2n+1 (ímpares). Portanto o coeficiente c_6 é zero, e assim