Determine a solução geral da equação diferencial exata:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata que é assim:
A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
onde $ M = 2xy + 3x^{2} $ e $ N = x^{2} + 4y $. Nosso objetivo é determinar $ F(x, y) $ e, assim, encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar a função $ F(x, y) $. Então, temos:
Integrando termo a termo:
Então, juntando tudo:
Aqui, $ g(y) $ é uma função arbitrária de $ y $ que surge porque a integração é feita em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função $ g(y) $. Para isso, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar à função $ N $:
Sabemos que $ \frac{\partial F}{\partial y} = N = x^{2} + 4y $, então:
Subtraindo $ x^{2} $ de ambos os lados:
Agora, integramos $ g’(y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ g(y) $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 4
Agora, substituímos $ g(y) $ de volta na função $ F(x, y) $:
Como $ F(x, y) = constante $ para a solução geral, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.