Determine a solução geral da equação diferencial exata:
(2 x y+3 x^2) d x+(x^2+4 y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial exata que é assim:
(2xy + 3x^2) , dx + (x^2 + 4y) , dy = 0
A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar uma função potencial $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
onde $ M = 2xy + 3x^{2} $ e $ N = x^{2} + 4y $. Nosso objetivo é determinar $ F(x, y) $ e, assim, encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar a função $ F(x, y) $. Então, temos:
M
Integrando termo a termo:
x
F(x, y)
Então, juntando tudo:
F(x, y) = integral (2xy + 3x^2) , dx
Aqui, $ g(y) $ é uma função arbitrária de $ y $ que surge porque a integração é feita em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função $ g(y) $. Para isso, vamos derivar $ F(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar à função $ N $:
g(y)
Sabemos que $ \frac{\partial F}{\partial y} = N = x^{2} + 4y $, então:
F(x, y)
Subtraindo $ x^{2} $ de ambos os lados:
y
Agora, integramos $ g’(y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ g(y) $:
N
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 4

Agora, substituímos $ g(y) $ de volta na função $ F(x, y) $:
g(y)
Como $ F(x, y) = constante $ para a solução geral, podemos escrever:
F(x, y)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
yx^2 + x^3 + 2y^2 = C
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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