Um sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial
u^prime+14 u^prime+u=g(t), u(0)=0, u^prime(0)=0
onde g(t)=u5 / 2(t)-u7 / 2(t).
Resolva o problema de valor inicial usando Transformada de Laplace;

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO linear de segunda ordem
u’’ + \tfrac14,u’ + u = g(t), com u(0)=0 e u’(0)=0, onde g(t)=u(t-5/2)-u(t-7/2). Vamos usar Transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo e usando u(0)=u’(0)=0 obtemos
s^2U(s) + tfrac14 s,U(s) + U(s) = G(s),
o que dá
U(s) l(s^2 + tfrac14 s +1r) = G(s) Longrightarrow U(s)=G(s)s^2 + tfrac14 s +1

Passo 3

Como g(t)=u(t-5/2)-u(t-7/2), sua transformada é
G(s)=e^-tfrac52ss - e^-tfrac72ss
Logo
U(s)=l(e^-5s/2s - e^-7s/2sr)1s^2+tfrac14s+1

Passo 4

Definimos
F(s)=1s,(s^2+tfrac14s+1)
de modo que
U(s)=e^-5s/2F(s)-e^-7s/2F(s)

Passo 5

Fazendo frações parciais em
F(s)=1s(s^2+tfrac14s+1)= A s+Bs+Cs^2+tfrac14s+1,
encontramos A=1, B=-1 e C=-\tfrac14. Assim
F(s)=1s - s+tfrac14s^2+tfrac14s+1

Passo 6

Para inverter, completamos quadrado no denominador:
s^2+tfrac14s+1=(s+tfrac18)^2+6364
Então
$$\mathcal L^{-1}{F(s)}=f(t)=1 - e^{-t/8}\cos\Bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8t\Bigr) - \frac1{\sqrt{63}},e^{-t/8}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8t\Bigr).
$$

Passo 7

Usando o teorema do deslocamento de Heaviside, a solução é
$$u(t)=f(t-5/2),u(t-5/2)-f(t-7/2),u(t-7/2).
$$

Passo 8

Portanto, explicitando f, temos para t>0:
$$u(t)=\bigl[1 - e{-\tfrac{t-5/2}8}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-5/2)\bigr)-\tfrac1{\sqrt{63}}e{-\tfrac{t-5/2}8}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-5/2)\bigr)\bigr]u(t-5/2)
$$
$$-\bigl[1 - e{-\tfrac{t-7/2}8}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-7/2)\bigr)-\tfrac1{\sqrt{63}}e{-\tfrac{t-7/2}8}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-7/2)\bigr)\bigr]u(t-7/2).
$$

Resposta

u(t)=\bigl[1 - e{-\tfrac{t-5/2}8}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-5/2)\bigr)-\tfrac1{\sqrt{63}}e{-\tfrac{t-5/2}8}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-5/2)\bigr)\bigr]u(t-5/2)-\bigl[1 - e{-\tfrac{t-7/2}8}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-7/2)\bigr)-\tfrac1{\sqrt{63}}e{-\tfrac{t-7/2}8}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{63}}8(t-7/2)\bigr)\bigr]u(t-7/2)

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