A questão trata de uma equação da onda com termo fonte constante, isto é, c^2 uxx-3q = utt para x>0, t>0, com condições de contorno u(0,t)=0, ux(infty,t)=0 e condições iniciais nulas. Vamos usar a transformada de Laplace em t para reduzir a PDE a uma EDO em x.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace em t (denotando Lu(x,t)=U(x,s)) e usando que u(x,0)=ut(x,0)=0 obtemos:
s^2 U(x,s) - c^2 Uxx(x,s) = -3qs
Isto é uma EDO linear não homogênea em x.
Passo 3
Para resolver
Uxx - s^2c^2U = 3qc^2s,
achamos a solução geral como soma da homogênea e de uma particular:
Solução homogênea: Uh = A e^-scx + B e^scx.
Para a particular usamos Up=C(s) constante em x, inserindo na EDO:
-s^2c^2C = 3qc^2s implies C = -3qs^3
Como queremos solução limitada em xto+infty, colocamos B=0.
Passo 4
Impondo a condição u(0,t)=0 dá U(0,s)=0, ou seja,
A + C = 0 implies A = -C = 3qs^3
Logo
U(x,s) = 3qs^3l(e^-scx-1r)
Agora invertemos a transformada reconhecendo que L^-11/s^3=t^2/2 e L^-1e^-a s/s^3=H(t-a)(t-a)^2/2.