Resolva usando Transformada de Laplace
l c^2 partial^2 upartial x^2-3 q=partial^2 upartial t^2, >0, t>0 ; u(0, t)=0, lim x infty partial upartial x=0, t>0 ; q é uma constante u(x, 0)=0, partial upartial t(x, 0)=0, x>0 é

Passo 1

A questão trata de uma equação da onda com termo fonte constante, isto é, c^2 uxx-3q = utt para x>0, t>0, com condições de contorno u(0,t)=0, ux(infty,t)=0 e condições iniciais nulas. Vamos usar a transformada de Laplace em t para reduzir a PDE a uma EDO em x.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em t (denotando Lu(x,t)=U(x,s)) e usando que u(x,0)=ut(x,0)=0 obtemos:
s^2 U(x,s) - c^2 Uxx(x,s) = -3qs
Isto é uma EDO linear não homogênea em x.

Passo 3

Para resolver
Uxx - s^2c^2U = 3qc^2s,
achamos a solução geral como soma da homogênea e de uma particular:
  • Solução homogênea: Uh = A e^-scx + B e^scx.
  • Para a particular usamos Up=C(s) constante em x, inserindo na EDO:
-s^2c^2C = 3qc^2s implies C = -3qs^3
Como queremos solução limitada em xto+infty, colocamos B=0.

Passo 4

Impondo a condição u(0,t)=0 U(0,s)=0, ou seja,
A + C = 0 implies A = -C = 3qs^3
Logo
U(x,s) = 3qs^3l(e^-scx-1r)
Agora invertemos a transformada reconhecendo que
L^-11/s^3=t^2/2 e
L^-1e^-a s/s^3=H(t-a)(t-a)^2/2.

Passo 5

Fazendo a inversa em s chega-se a
u(x,t) = 3q2l[Hl(t-tfracxcr)l(t-tfracxcr)^2 - t^2r],
que satisfaz todas as condições do problema.
Este é o resultado final para u(x,t) usando a transformada de Laplace.

Resposta

u(x,t)=3q2l[Hl(t-tfracxcr)l(t-tfracxcr)^2 - t^2r]

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