Encontre a solução da EDO exata abaixo:
(e^x+y) d x+(x+e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial exata (e^x + y),dx + (x + e^y),dy = 0. O assunto é equações diferenciais exatas, e vamos precisar testar a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x e depois encontrar uma função potencial Psi(x,y) cuja diferencial total seja exatamente o lado esquerdo da EDO.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=e^x+y e N(x,y)=x+e^y. Calculamos as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y=1
  • partial Npartial x=1
    Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial Psi(x,y) tal que partialPsi/partial x = M, integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(e^x+y),dx = e^x + xy + h(y), onde h(y) é uma função a determinar.
Agora impomos partialPsi/partial y = N. Calculando:
partialPsipartial y=x + h'(y)
e sabemos que isso deve ser igual a x + e^y. Assim,
h'(y)=e^y Longrightarrow h(y)=e^y + C1
Portanto a função potencial fica
Psi(x,y)=e^x + xy + e^y
A solução geral da EDO é dada por Psi(x,y)=constante.

Resposta

e^x + xy + e^y = C

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