Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
frac{d y}{d x}=\left(x^{2}+1\right) y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\left(x^{2}+1\right)y
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona a derivada de y com uma função de x multiplicada por y.
  • Não foi dado valor inicial, então devemos encontrar a família de soluções gerais, com uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e estratégia: a equação pode ser tratada por separação de variáveis porque o lado direito é um produto de uma função que depende só de x e de y. Na separação de variáveis fazemos manipulações algébricas para agrupar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Uma ressalva técnica: ao dividir por y devemos considerar também a possibilidade y=0, que é solução separada e será incluída na solução geral final.

Passo 3

Separando as variáveis (assumindo temporariamente y\neq0) obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=x^{2}+1.
Agora colocamos os diferenciais de forma explícita:
\frac{dy}{y}=(x^{2}+1)\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou mostrar a integral de cada lado e lembrar o que cada símbolo significa: \int\frac{dy}{y} significa a antiderivada de 1/y em relação a y, e \int (x^{2}+1)\,dx é a antiderivada de x^{2}+1 em relação a x.
\int \frac{dy}{y} = \int (x^{2}+1)\,dx.
Calcule as integrais:
\int \frac{dy}{y}=\ln|y| + C_{1}, \qquad \int (x^{2}+1)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+x + C_{2}.
Igualando e combinando as constantes (colocando C=C_{2}-C_{1}) temos
\ln|y|=\frac{x^{3}}{3}+x + C.

Passo 5

Isolamos y exponenciando ambos os lados. Lembre que e^{\ln|y|}=|y|.
|y|=e^{\frac{x^{3}}{3}+x + C}=e^{C}\,e^{\frac{x^{3}}{3}+x}.
Chamando A=e^{C}>0 obtemos |y|=A\,e^{\frac{x^{3}}{3}+x}. Para eliminar o valor absoluto, introduzimos uma constante C que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero): y=C\,e^{\frac{x^{3}}{3}+x}. Isso inclui a solução y\equiv0 ao permitir C=0.

Passo 6

Interpretação e domínio: a função e^{\frac{x^{3}}{3}+x} é definida para todo x\in\mathbb{R}, então a solução geral válida em toda a reta é
y=C\,e^{\frac{x^{3}}{3}+x},
com C\in\mathbb{R}. Se houver uma condição inicial, determina-se C a partir dela.

Passo 7

Verificação rápida (como checar no exame): derivando y obtém-se
\frac{dy}{dx}=C\,e^{\frac{x^{3}}{3}+x}\left(x^{2}+1\right),
que é exatamente \left(x^{2}+1\right)y. Então a família encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y=C\,e^{\frac{x^{3}}{3}+x},\\ C\in\mathbb{R}

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