Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona a derivada de
com uma função de multiplicada por . - Não foi dado valor inicial, então devemos encontrar a família de soluções gerais, com uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e estratégia: a equação pode ser tratada por separação de variáveis porque o lado direito é um produto de uma função que depende só de
e de
. Na separação de variáveis fazemos manipulações algébricas para agrupar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro. Uma ressalva técnica: ao dividir por
devemos considerar também a possibilidade
, que é solução separada e será incluída na solução geral final.
Passo 3
Separando as variáveis (assumindo temporariamente
) obtemos
Agora colocamos os diferenciais de forma explícita:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou mostrar a integral de cada lado e lembrar o que cada símbolo significa:
significa a antiderivada de
em relação a
, e
é a antiderivada de
em relação a
.
Calcule as integrais:
Igualando e combinando as constantes (colocando
) temos
Passo 5
Isolamos
exponenciando ambos os lados. Lembre que
.
Chamando
obtemos
. Para eliminar o valor absoluto, introduzimos uma constante
que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero):
. Isso inclui a solução
ao permitir
.
Passo 6
Interpretação e domínio: a função
é definida para todo
, então a solução geral válida em toda a reta é
com
. Se houver uma condição inicial, determina-se
a partir dela.
Passo 7
Verificação rápida (como checar no exame): derivando
obtém-se
que é exatamente
. Então a família encontrada satisfaz a equação.