Determine a solução geral da equação diferencial homogênea de 1^{\circ} ordem:
x^{2} y^{\prime}+\left(x^{6}+x^{4}\right) y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y^{\prime}+\left(x^{6}+x^{4}\right)y=0
e pede a solução geral. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y=y(x) e a derivada é y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • O coeficiente de y^{\prime} é x^{2}, portanto é necessário tomar cuidado ao dividir por x^{2}: isso só é permitido quando x\neq0.
  • A equação é homogênea (lado direito igual a zero) e de primeira ordem.
    O próximo passo é transformar a equação para uma forma que possamos integrar.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão dividindo por x^{2} (válido apenas para x\neq0):
y^{\prime} + \frac{x^{6}+x^{4}}{x^{2}}\,y = 0.
Simplificando a fração:
\frac{x^{6}+x^{4}}{x^{2}} = x^{4}+x^{2},
logo a equação fica
y^{\prime} + \bigl(x^{4}+x^{2}\bigr)y = 0,\qquad x\neq 0.

Passo 3

Explico o método que vou usar (de um jeito simples): a equação já está em uma forma em que é fácil separar as variáveis. Escrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}, a equação torna-se
\frac{dy}{dx} = -\bigl(x^{4}+x^{2}\bigr)y.
Agora separo y e x:
\frac{1}{y}\,dy = -\bigl(x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx.
Isto permite integrar os dois lados: o lado esquerdo em função de y e o direito em função de x.

Passo 4

Faço as integrais passo a passo. Integro o lado esquerdo:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\bigl|y\bigr| + C_{1}.
Integro o lado direito termo a termo:
\int -\bigl(x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx = -\int x^{4}\,dx - \int x^{2}\,dx = -\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + C_{2}.
Juntando as duas integrais e agrupando constantes ( C=C_{2}-C_{1} é uma constante arbitrária):
\ln\bigl|y\bigr| = -\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 5

Exponencio para isolar y. Lembrando que e^{C} é uma constante positiva que posso reescrever como |C_{0}|, e permitindo sinal, obtenho a constante arbitrária C_{0}\in\mathbb{R}:
\bigl|y\bigr| = e^{C}\,e^{-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}} \quad\Rightarrow\quad y = C_{0}\,e^{-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}}.
Aqui C_{0} é qualquer constante real (inclui C_{0}=0, que dá a solução trivial). Relembre que essa dedução exigiu x\neq0 ao dividir por x^{2}, então a solução geral é válida em qualquer intervalo onde x não se anule (por exemplo x>0 ou x<0). Observação final: a expressão e^{-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}} é bem definida para todo x, mas a dedução do ODE original passa por um ponto singular em x=0, então a formulação rigorosa da solução geral é feita em intervalos que não contenham 0.

Resposta

y(x)=C\exp\!\left(-\dfrac{x^{5}}{5}-\dfrac{x^{3}}{3}\right),\quad x\neq 0,\\ C\in\mathbb{R}

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