Explico o método que vou usar (de um jeito simples): a equação já está em uma forma em que é fácil separar as variáveis. Escrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}, a equação torna-se
\frac{dy}{dx} = -\bigl(x^{4}+x^{2}\bigr)y.
Agora separo y e x:
\frac{1}{y}\,dy = -\bigl(x^{4}+x^{2}\bigr)\,dx.
Isto permite integrar os dois lados: o lado esquerdo em função de y e o direito em função de x.
Passo 4
Faço as integrais passo a passo. Integro o lado esquerdo:
Juntando as duas integrais e agrupando constantes (C=C_{2}-C_{1} é uma constante arbitrária):
\ln\bigl|y\bigr| = -\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + C.
Passo 5
Exponencio para isolar y. Lembrando que e^{C} é uma constante positiva que posso reescrever como |C_{0}|, e permitindo sinal, obtenho a constante arbitrária C_{0}\in\mathbb{R}:
\bigl|y\bigr| = e^{C}\,e^{-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}} \quad\Rightarrow\quad y = C_{0}\,e^{-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}}.
Aqui C_{0} é qualquer constante real (inclui C_{0}=0, que dá a solução trivial). Relembre que essa dedução exigiu x\neq0 ao dividir por x^{2}, então a solução geral é válida em qualquer intervalo onde x não se anule (por exemplo x>0 ou x<0). Observação final: a expressão e^{-\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}} é bem definida para todo x, mas a dedução do ODE original passa por um ponto singular em x=0, então a formulação rigorosa da solução geral é feita em intervalos que não contenham 0.