Seja
uma função derivável em seu domínio tal que
. Sabendo que
, calcule o valor de
Escolha uma opção:
a. -1 .
b.
c.
.
d. 0 .
e.
.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função
em seu domínio por
e informa o valor inicial
. A pergunta é calcular o valor de
. Lista das informações relevantes:
-
. -
. - Queremos
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de
usando propriedades do logaritmo. Lembre que
para
. Aplicando com
obtemos
Substituindo em
fica
Observação rápida sobre valor absoluto: usamos
porque
de uma potência par envolve o valor absoluto.
Passo 3
Agora reconhecemos uma derivada conhecida. Lembra da regra da cadeia e da derivada de
:
Se aplicarmos a regra do produto à função
, temos
Portanto, vemos que
é exatamente a derivada de
.
Passo 4
Integrando
para recuperar
, concluímos que uma antiderivada é
onde
é constante de integração. Esta é a forma geral de
.
Passo 5
Usamos a condição inicial
para determinar
. Calcule
:
Substituindo em
quando
,
Como
, segue
. Assim
Passo 6
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule
:
Então
Substituindo em
,
Resposta
e.