Seja f uma função derivável em seu domínio tal que f^{\prime}(x)=\frac{\ln \left[(x-3)^{2}\right]}{x-3}. Sabendo que f(2)=-\frac{1}{2}, calcule o valor de f\left(\frac{1}{e}+3\right)
Escolha uma opção:
\bigcirc a. -1 .
\bigcirc b. -\frac{1}{4}
\bigcirc c. \frac{1}{e}.
\bigcirc d. 0 .
\bigcirc e. \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função f em seu domínio por
f^{\prime}(x)=\frac{\ln\left[(x-3)^{2}\right]}{x-3},
e informa o valor inicial f(2)=-\dfrac{1}{2}. A pergunta é calcular o valor de f\left(\dfrac{1}{e}+3\right). Lista das informações relevantes:
  • f^{\prime}(x)=\dfrac{\ln\left[(x-3)^{2}\right]}{x-3}.
  • f(2)=-\dfrac{1}{2}.
  • Queremos f\!\left(\dfrac{1}{e}+3\right).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de f^{\prime}(x) usando propriedades do logaritmo. Lembre que \ln(a^{2})=2\ln|a| para a\neq0. Aplicando com a=x-3 obtemos
\ln\left[(x-3)^{2}\right]=2\ln|x-3|.
Substituindo em f^{\prime}(x) fica
f^{\prime}(x)=\frac{2\ln|x-3|}{x-3}.
Observação rápida sobre valor absoluto: usamos |x-3| porque \ln de uma potência par envolve o valor absoluto.

Passo 3

Agora reconhecemos uma derivada conhecida. Lembra da regra da cadeia e da derivada de \ln|x-3|:
\frac{d}{dx}\big(\ln|x-3|\big)=\frac{1}{x-3}.
Se aplicarmos a regra do produto à função \big(\ln|x-3|\big)^{2}, temos
\frac{d}{dx}\left(\big(\ln|x-3|\big)^{2}\right)=2\ln|x-3|\cdot\frac{1}{x-3}=\frac{2\ln|x-3|}{x-3}.
Portanto, vemos que f^{\prime}(x) é exatamente a derivada de \big(\ln|x-3|\big)^{2}.

Passo 4

Integrando f^{\prime}(x) para recuperar f(x), concluímos que uma antiderivada é
f(x)=\big(\ln|x-3|\big)^{2}+C,
onde C é constante de integração. Esta é a forma geral de f.

Passo 5

Usamos a condição inicial f(2)=-\dfrac{1}{2} para determinar C. Calcule \ln|2-3|:
\ln|2-3|=\ln|{-1}|=\ln 1=0.
Substituindo em f(x) quando x=2,
f(2)=\big(\ln|2-3|\big)^{2}+C=0^{2}+C=C.
Como f(2)=-\dfrac{1}{2}, segue C=-\dfrac{1}{2}. Assim
f(x)=\big(\ln|x-3|\big)^{2}-\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=\dfrac{1}{e}+3. Primeiro calcule x-3:
x-3=\frac{1}{e}.
Então
\ln\left|x-3\right|=\ln\left(\frac{1}{e}\right)=-1.
Substituindo em f(x),
f\!\left(\frac{1}{e}+3\right)=(-1)^{2}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Resposta

e. \dfrac{1}{2}

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