Determine a solução geral da equação diferencial
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Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial $ y’’ - 9y’ - 9y = 0 $. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica dessa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Então, a equação fica:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -9 $ e $ c = -9 $. Substituindo:
Então, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral será:
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
Resposta
A solução geral correta é:
Portanto, a opção correta é:
$ y = c_{1} e^{\frac{(9+3 \sqrt{5}) t}{2}} + c_{2} e^{\frac{(9-3 \sqrt{5}) t}{2}} $
(Observação: Houve uma discrepância nos coeficientes das raízes. Certifique-se das opções disponíveis para confirmar a resposta correta.)