NÃO É EXATA
NÃO É EXATA
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos a seguinte equação diferencial:
E foi nos dado que ela não é exata, ou seja, as derivadas parciais de $ M $ e $ N $ em relação a $ y $ e $ x $, respectivamente, não são iguais:
Para resolver essa equação, vamos precisar trabalhar com fatores integrantes que transformam a equação não exata em uma exata, permitindo-nos encontrar uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação exata. Uma equação diferencial da forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Como nossa equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante $ \mu(x, y) $ que, quando multiplicado por $ M $ e $ N $, torne a equação exata:
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de $ x $ ou apenas de $ y $. Para isso, utilizamos a seguinte relação:
ou
Vamos calcular a expressão para verificar se o fator integrante depende apenas de $ y $.
Calculando:
Agora, dividindo por $ N = 2 x e^{2 y} - x \cos(x y) + 2 y $:
Essa expressão parece complicada para depender apenas de $ y $, então vamos tentar a outra possibilidade.
Calculando:
Também não é uma expressão que depende apenas de $ y $. Então, a abordagem tradicional não está funcionando facilmente. Vamos tentar um fator integrante que seja função de $ y $.
Passo 4
Vamos assumir que o fator integrante $ \mu(y) $ depende apenas de $ y $. Para isso, usamos a fórmula:
onde:
Já calculamos $ P(y) $ e vimos que é bastante complicado. Portanto, vamos tentar uma simplificação. Vamos considerar que $ \mu(y) $ pode ser escolhida de forma que simplifique a equação.
Após várias tentativas, percebemos que encontrar um fator integrante exato para essa equação é bastante complexo e pode não ser viável com métodos elementares. Nesse caso, podemos recorrer a outras técnicas ou confirmar se há uma simplificação possível.
Passo 5
Como a busca pelo fator integrante direto não está dando resultado simples, vamos verificar se a equação pode ser simplificada de outra maneira ou se há algum erro na transcrição.
No entanto, assumindo que o fator integrante foi encontrado ou há uma simplificação, seguiríamos multiplicando a equação original por $ \mu(y) $ para torná-la exata e, então, encontraríamos a função potencial $ \Phi(x, y) $ integrando $ M $ em relação a $ x $ e ajustando com a função $ h(y) $.
Resposta
Devido à complexidade da equação e sem um fator integrante simples, a solução completa exige métodos avançados ou suposições adicionais. Portanto, a equação fornecida permanece não exata sem um fator integrante apropriado identificado.