1. Determine a solução geral da equação diferencial a seguir (não pode se usado o método das exatas).
y^{\prime}=\frac{x^{3}+y^{3}}{3 x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{x^3 + y^3}{3xy^2}
Este é um caso de equação homogênea (numerador e denominador têm o mesmo grau). Vamos usar a substituição
y = u(x)\,x,
de modo que u = y/x.

Passo 2

Substituindo y = ux temos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Também escrevemos o lado direito em função de u:
\frac{x^3 + y^3}{3xy^2} = \frac{x^3 + u^3x^3}{3x\,(u x)^2} = \frac{x^3(1+u^3)}{3x\,u^2x^2} = \frac{1+u^3}{3u^2}.
Logo a equação torna-se
u + x\frac{du}{dx} = \frac{1+u^3}{3u^2}.

Passo 3

Isolamos du/dx:
x\frac{du}{dx} = \frac{1+u^3}{3u^2} - u = \frac{1+u^3 - 3u^3}{3u^2} = \frac{1 - 2u^3}{3u^2}.
Isso dá a separação de variáveis
\frac{3u^2}{1 - 2u^3}\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, use t = 1 - 2u^3, logo dt = -6u^2\,du, ou seja, 3u^2\,du = -\tfrac12\,dt. Assim
\int \frac{3u^2}{1 - 2u^3}\,du = \int \frac{-\tfrac12\,dt}{t} = -\tfrac12 \ln\bigl|t\bigr| + C = -\tfrac12 \ln\bigl|1 - 2u^3\bigr| + C.
Do outro lado,
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr| + C_1.
Igualando constantes, obtemos
-\tfrac12 \ln\bigl|1 - 2u^3\bigr| = \ln\bigl|x\bigr| + C_2.

Passo 5

Multiplicando por -2 e exponenciando, surge
\ln\bigl|1 - 2u^3\bigr| = \ln\bigl|x\bigr|^{-2} + C_3 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 2u^3 = K\,x^{-2},
onde K é constante arbitrária. Voltando a u = y/x,
1 - 2\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^3 = Kx^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 2\frac{y^3}{x^3} = 1 - Kx^{-2} \quad\Longrightarrow\quad 2y^3 = x^3 - Kx.

Resposta

A solução geral pode ser escrita implicitamente como
x^3 - 2y^3 = C\,x,
onde C é a constante de integração.

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