Resolva utilizando o método das equações diferencias exatas a equação diferencial a seguir.
y^{\prime}=-\frac{2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y}{x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de equações diferenciais exatas, a equação
y'=-\frac{2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y}{x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x}.
Primeiro escrevemos em forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Como y'=\tfrac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \quad\Longrightarrow\quad N(x,y)\,dy+M(x,y)\,dx=0,
onde
M(x,y)=2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y, \quad N(x,y)=x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x.
O objetivo é achar um fator integrante que torne a equação exata, isto é, que faça
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr).

Passo 2

Verificamos primeiro se já é exata, calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =2x\bigl(y^{4}e^{y}+4y^{3}e^{y}\bigr)+6xy^{2}+1 =2x y^{4}e^{y}+8x y^{3}e^{y}+6x y^{2}+1,
\frac{\partial N}{\partial x} =2x y^{4}e^{y}-2x y^{2}-3.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, não é exata.

Passo 3

Para encontrar um fator integrante \mu que dependa apenas de y, calculamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{\bigl(2x y^{4}e^{y}-2x y^{2}-3\bigr) -\bigl(2x y^{4}e^{y}+8x y^{3}e^{y}+6x y^{2}+1\bigr)} {2x y^{4}e^{y}+2x y^{3}+y} =-\frac{4}{y},
que é função só de y. Logo
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{y}\,dy\Bigr) =\exp(-4\ln|y|) =y^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial por \mu(y)=y^{-4}. Definimos
\widetilde M(x,y)=y^{-4}M =2x e^{y}+2x\,y^{-1}+y^{-3}, \quad \widetilde N(x,y)=y^{-4}N =x^{2}e^{y}-x^{2}y^{-2}-3x\,y^{-4}.
Verifica-se facilmente que
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =2x e^{y}-2x\,y^{-2}-3y^{-4}, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =2x e^{y}-2x\,y^{-2}-3y^{-4},
ou seja, agora a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\widetilde M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=\widetilde N.
Integramos \widetilde M em x:
\Psi(x,y) =\int\bigl(2x e^{y}+2x\,y^{-1}+y^{-3}\bigr)\,dx =x^{2}e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}}+h(y).
Derivando em y e igualando a \widetilde N determina-se h'(y)=0, logo h é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^{2}e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}}=C,
onde C é constante de integração.

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