Resolva utilizando o método das equações diferencias exatas a equação diferencial a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método de equações diferenciais exatas, a equação
Primeiro escrevemos em forma diferencial
. Como
, temos
onde
O objetivo é achar um fator integrante que torne a equação exata, isto é, que faça
Passo 2
Verificamos primeiro se já é exata, calculando
Como
, não é exata.
Passo 3
Para encontrar um fator integrante
que dependa apenas de
, calculamos
que é função só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial por
. Definimos
Verifica-se facilmente que
ou seja, agora a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
determina-se
, logo
é constante.
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante de integração.