p. Determine a solução da equação diferencial a seguir:
y^{\prime}-\frac{3}{x} y=x^{4} y^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Bernoulli
y' - \frac{3}{x}\,y = x^{4}\,y^{1/3}
Queremos encontrar a solução geral y(x). Para isso, reconhecemos que é uma equação do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-3/x, Q(x)=x^{4} e n=\tfrac13.

Passo 2

Na forma de Bernoulli, fazemos a substituição
v = y^{1-n} = y^{1 - \tfrac13} = y^{2/3}.
Precisamos expressar v' em função de y e y'. Como
v = y^{2/3} \quad\Longrightarrow\quad v' = \frac{2}{3}\,y^{-1/3}\,y',
temos
y^{-1/3}\,y' = \frac{3}{2}\,v'.

Passo 3

Multiplicando a equação original por y^{-1/3}, obtemos
y^{-1/3}\,y' - \frac{3}{x}\,y^{2/3} = x^{4}.
Substituindo y^{-1/3}y'=\tfrac32\,v' e y^{2/3}=v, vem
\frac{3}{2}\,v' - \frac{3}{x}\,v = x^{4}.
Dividindo por \tfrac32, chega-se à equação linear em v:
v' - \frac{2}{x}\,v = \frac{2}{3}\,x^{4}.

Passo 4

Para resolver
v' - \frac{2}{x}\,v = \frac{2}{3}\,x^{4},
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}v' - 2x^{-3}v = \frac{2}{3}\,x^{2},
que é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}v\bigr) = \frac{2}{3}\,x^{2}.

Passo 5

Integrando em x:
x^{-2}v = \int \frac{2}{3}\,x^{2}\,dx = \frac{2}{3}\,\frac{x^{3}}{3} + C = \frac{2}{9}\,x^{3} + C.
Logo
v = \frac{2}{9}\,x^{5} + C\,x^{2}.

Passo 6

Voltando a y, lembramos v = y^{2/3}, então
y^{2/3} = \frac{2}{9}\,x^{5} + C\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \Bigl(\frac{2}{9}\,x^{5} + C\,x^{2}\Bigr)^{3/2}.

Resposta

y(x) = \Bigl(\tfrac{2}{9}\,x^{5} + C\,x^{2}\Bigr)^{3/2},
onde C é constante arbitrária.

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