Determine a solução particular da equação diferencial separável a seguir.
y^{\prime}=\frac{x^{2} y}{1+x^{3}} \quad ; y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial separável
y'=\frac{x^{2}y}{1+x^{3}}
com condição inicial y(1)=2. Vamos separar variáveis e integrar para obter a solução geral.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando y de um lado e x do outro:
\frac{dy}{y}=\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \frac{1}{3}\ln\bigl(1+x^{3}\bigr) + C,
pois, com u=1+x^{3}, temos du=3x^{2}dx.

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral
y = C_{1}\,\bigl(1+x^{3}\bigr)^{\tfrac{1}{3}},
onde C_{1}=e^{C} é constante de integração.

Passo 5

Usamos a condição y(1)=2:
2 = C_{1}\,(1+1^{3})^{\tfrac{1}{3}} = C_{1}\,2^{\tfrac{1}{3}} \quad\Longrightarrow\quad C_{1} = 2\big/2^{\tfrac{1}{3}} = 2^{\tfrac{2}{3}}.

Resposta

y(x)=2^{\tfrac{2}{3}}\bigl(1+x^{3}\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.

Exercícios relacionados