Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes dada por
Informações fornecidas:
- A equação é linear, homogênea e tem coeficientes constantes (os números multiplicando
são , respectivamente). - Deve-se encontrar a família de todas as soluções (a solução geral), isto é, a expressão de
que contém as constantes arbitrárias necessárias.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão com coeficiente da derivada de ordem mais alta igual a
. Isso facilita aplicar a técnica padrão:
Explicação breve do porquê: deixar o coeficiente de
igual a
simplifica a escrita do polinômio característico e as contas subsequentes.
Passo 3
Método usado (padrão para esse tipo de equação): procurar soluções da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar.
Explicação didática: se , então
e
. Substituindo na equação diferencial, o fator comum
não é zero, então sobra uma equação algébrica para
chamada equação característica.
Explicação didática: se
Substituindo:
Como
para qualquer
, a condição é
Passo 4
Resolver a equação quadrática característica usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Aqui
é a unidade imaginária (
). Podemos identificar
e
, de modo que as raízes são
.
Passo 5
Agora a parte conceitual: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
(com
e
), a solução geral real da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (determinam a combinação linear das duas soluções independentes). Motivo rápido e intuitivo: das soluções complexas
toma-se as partes real e imaginária, que são duas soluções reais independentes; a combinação linear dessas gera a solução geral real.
Aqui, substituindo
e
, obtemos a forma explícita.
Passo 6
Aplicando o resultado do passo anterior com os valores de
e
:
Explicação dos símbolos:
-
são constantes reais arbitrárias (determinam a solução específica através de condições iniciais, caso existam). - A exponencial
dá um decaimento exponencial, enquanto os cosseno e seno introduzem a oscilação com frequência angular .
Exemplo rápido: escolhendoobtém-se , que é uma função oscilante cuja amplitude decai como .