Determine a solução geral da equação diferencial de segunda ordem.
2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes dada por
2\,y'' + 2\,y' + y = 0.
Informações fornecidas:
  • A equação é linear, homogênea e tem coeficientes constantes (os números multiplicando y'',y',y são 2,2,1, respectivamente).
  • Deve-se encontrar a família de todas as soluções (a solução geral), isto é, a expressão de y(x) que contém as constantes arbitrárias necessárias.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação na forma padrão com coeficiente da derivada de ordem mais alta igual a 1. Isso facilita aplicar a técnica padrão:
\text{Dividindo a equação por }2\text{, obtemos}çã
y'' + y' + \tfrac{1}{2}\,y = 0.
Explicação breve do porquê: deixar o coeficiente de y'' igual a 1 simplifica a escrita do polinômio característico e as contas subsequentes.

Passo 3

Método usado (padrão para esse tipo de equação): procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}, onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar.
Explicação didática: se y=e^{r x}, então y'=r e^{r x} e y''=r^{2} e^{r x}. Substituindo na equação diferencial, o fator comum e^{r x} não é zero, então sobra uma equação algébrica para r chamada equação característica.
Substituindo:
r^{2} e^{r x} + r e^{r x} + \tfrac{1}{2} e^{r x} = 0
\Rightarrow e^{r x}\bigl(r^{2} + r + \tfrac{1}{2}\bigr)=0
Como e^{r x}\neq0 para qualquer x, a condição é
r^{2} + r + \tfrac{1}{2} = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática característica usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação a r^{2}+b r + c =0, as raízes são
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=\tfrac{1}{2}. Calculando o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2} - 4\cdot 1 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 - 2 = -1.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{-1}}{2} = \frac{-1}{2} \pm \frac{i}{2}.
Aqui i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Podemos identificar \alpha = -\tfrac{1}{2} e \beta = \tfrac{1}{2}, de modo que as raízes são \alpha \pm i\beta.

Passo 5

Agora a parte conceitual: quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq0), a solução geral real da equação diferencial é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x) + C_{2}\sin(\beta x)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias (determinam a combinação linear das duas soluções independentes). Motivo rápido e intuitivo: das soluções complexas e^{(\alpha\pm i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)\pm i\sin(\beta x)) toma-se as partes real e imaginária, que são duas soluções reais independentes; a combinação linear dessas gera a solução geral real.
Aqui, substituindo \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{1}{2}, obtemos a forma explícita.

Passo 6

Aplicando o resultado do passo anterior com os valores de \alpha e \beta:
\boxed{\,y(x)=e^{-\tfrac{x}{2}}\bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr)\,}
Explicação dos símbolos:
  • C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias (determinam a solução específica através de condições iniciais, caso existam).
  • A exponencial e^{-\tfrac{x}{2}} dá um decaimento exponencial, enquanto os cosseno e seno introduzem a oscilação com frequência angular \tfrac{1}{2}.
    Exemplo rápido: escolhendo C_{1}=1,C_{2}=0 obtém-se y(x)=e^{-x/2}\cos(x/2), que é uma função oscilante cuja amplitude decai como e^{-x/2}.

Resposta

y(x)=e^{-\tfrac{x}{2}}\bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr)

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